300. 最长上升子序列

300. 最长上升子序列

题意

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

解题思路

• 动态规划：看到这种题目首先想到的就是dp，受到之前最长回文子串的影响，也以为是要用二维数组来解，然后用(i，j)记录区间的最长值，后来发现完全没有必要。

  假设dp[i]表示0到i中的最长序列长度，如果之前的值比当前值小，则说明之前的值和当前值构成一个递增序列，所以状态转移方程为：

  dp[cur] = max(dp[cur], dp[i] + 1) (if i < cur and nums[cur] > nums[i])

• 二分查找：维护一个有序序列，如果当前值在这个有序序列中排在最后面，说明当前值加入到有序序列中依然有序，否则则进行替换，时间复杂度为O(nlogn)；

实现

class Solution(object):
    def lengthOfLIS(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        if not nums:
            return 0
        
        dp = [1] * len(nums)
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[j] < nums[i]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
        return max(dp)
      
  def lengthOfLIS(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        if not nums:
            return 0
​
        dp = []  # 维护一个最长的有序数组
        for i in range(len(nums)):
            low, high = 0, len(dp)
      
            # 判断nums[i]在数组中是否有序
            while low < high:
                mid = (low + high) // 2
                if nums[i] > dp[mid]:
                    low = mid + 1
                else:
                    high = mid
      
            # 如果值的位置在最后，插入后依旧保持有序，相反，则替换掉原来位置的值
            if low >= len(dp):
                dp.append(nums[i])
            else:
                dp[low] = nums[i]
​
        return len(dp)