拟阵学习笔记

参考 巨佬的讲解。

拟阵的定义

对于拟阵（\(\rm Matroid\)） \(M=(S,L)\)，\(S\) 是一个集合，\(L\) 是 \(S\) 部分子集构成的集合。

遗传性：\(\forall A\in L,B\subseteq A:B\in L\)。

交换性：\(\forall A\in L,B\in L,|A|<|B|:\exists x \in (B-A),A\cup {x}\in L\)。

蒟蒻手玩的拟阵：

S={0,1,2}
L={{},{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}}

\(L\) 中的所有元素（集合）称为 独立集，所有极大的独立集称为 极大独立集，其大小称为拟阵的 秩。

拟阵上的最优化问题

拟阵是用来解决贪心问题的，可以转化为拟阵一定可以贪心，但贪心不一定可转化为拟阵。

问题中每个 \(x\in S\) 有个权值 \(v(x)\)，要求 \(v(x)\ge 0\)。

每个 \(A\subseteq S\) 有个权值 \(w(A)=\sum_{x\in A} v(x)\)。

然后给一个拟阵 \(M=(S,L)\)，要求 \(L\) 中的 权值最大独立集。这显然是其中一个 极大独立集。

这里是求 权值最大独立集 的伪代码，这是个贪心：

Set solve(Matroid M){
    Set A; A.clear();
    sort(M.S,greater<Element>());
    for(Element x∈M.S)
        if(A∪{x}∈M.L) A∪={x};
    return A;
}

正确性证明： 易证任一时刻 \(A\) 都是该大小的权值最大独立集，并且是全局权值最大独立集的子集。

放几道拟阵例题：

最小生成树问题： \(M=(S,L)\)，\(S\) 取边集，\(L\) 取不够成环的所有边集。易证遗传和交换。权值可以取 \(w(x)=A-\) 边权（\(A\) 是权值最大值，保证 \(w(x)\ge 0\)）。

感觉题目好难用拟阵做啊，或许是我理解不够深入？感谢评论添加拟阵例题。