题解-CF1418G Three Occurrences
题面
给一个 \(n\) 个数的序列 \(a_i\)，求每个出现过的数出现次数为 \(3\) 的子序列个数。
数据范围：\(1\le n\le 5\cdot 10^5\)，\(1\le a_i\le n\)。
蒟蒻语
做了半个上午做出了最离谱的做法：表格打叉叉。
用线段树求矩阵面积并实现，时间复杂度 \(\Theta(n\log n)\)，总用时 \(1.40 min\)。
蒟蒻解
想象有一个 \(n\times n\) 的表格，行表示右端点，列表示左端点。
如果表格上的数为 \(1\) 表示这个区间没被叉掉，对答案有贡献，否则这个区间不符合题目要求。
可以发现每次叉的都是一个矩阵，线段树扫描线求矩阵面积并即可。
考虑数据：
8
1 1 2 1 2 1 2 1
answer=2
现在的表表是：
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
\((1)\) 把左端点大于右端点的给叉了：
| \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
\((2)\) 把超过 \(3\) 个相同的数的区间叉了：
| \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
\((3)\) 把少于 \(3\) 个相同的数的区间叉了：
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
然后剩下的 \(2\) 就是答案了。
手玩一下就可以发现叉的规律了，非常简单易懂，蒟蒻就不负责任地放代码里了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair((a),(b))
#define x first
#define y second
#define be(a) (a).begin()
#define en(a) (a).end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
#define R(i,a,b) for(int i=(a),I=(b);i<I;i++)
#define L(i,a,b) for(int i=(b)-1,I=(a)-1;i>I;i--)
const int iinf=0x3f3f3f3f;
const ll linf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
//Data
const int N=5e5;
int n,a[N],d[N]; ll ans;
vector<int> id[N];
struct line{
int l,r,t; line(){}
line(int l,int r,int t):l(l),r(r),t(t){}
};
vector<line> p[N+1];
void addmat(int xl,int xr,int yl,int yr){
// cout<<"(["<<xl<<","<<xr<<"),["<<yl<<","<<yr<<"))\n";
p[xl].pb(line(yl,yr,1)),p[xr].pb(line(yl,yr,-1));
}
//SegmentTree
const int tN=N<<2;
#define mid ((l+r)>>1)
int mn[tN],mc[tN],mk[tN];
void pushup(int k){
if(mn[k*2+1]<mn[k*2+2]) mn[k]=mn[k*2+1],mc[k]=mc[k*2+1];
else if(mn[k*2+1]>mn[k*2+2]) mn[k]=mn[k*2+2],mc[k]=mc[k*2+2];
else mn[k]=mn[k*2+1],mc[k]=mc[k*2+1]+mc[k*2+2];
}
void pushadd(int k,int v){mn[k]+=v,mk[k]+=v;}
void pushdown(int k){pushadd(k*2+1,mk[k]),pushadd(k*2+2,mk[k]),mk[k]=0;}
void build(int k=0,int l=0,int r=n){
if(r-l==1) return mn[k]=0,mc[k]=1,void();
build(k*2+1,l,mid),build(k*2+2,mid,r),pushup(k);
}
void add(int x,int y,int v,int k=0,int l=0,int r=n){
if(r<=x||y<=l) return; if(x<=l&&r<=y) return pushadd(k,v);
pushdown(k),add(x,y,v,k*2+1,l,mid),add(x,y,v,k*2+2,mid,r),pushup(k);
}
//Main
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n;
R(i,0,n) id[i].pb(-1),id[i].pb(-1),id[i].pb(-1);
R(i,0,n) cin>>a[i],--a[i],d[i]=sz(id[a[i]]),id[a[i]].pb(i);
R(i,0,n) id[i].pb(n),id[i].pb(n),id[i].pb(n);
// cout<<"ok 60\n";
R(i,0,n){
addmat(i,i+1,i+1,n); // 把左端点大于右端点的给叉了
addmat(i,n,0,id[a[i]][d[i]-3]+1); //把超过 3 个相同的数的区间叉了
addmat(i,id[a[i]][d[i]+2],id[a[i]][d[i]-1]+1,i+1); //把少于 3 个相同的数的区间叉了
}
// cout<<"ok 66\n";
build();
R(i,0,n){ //求个矩阵面积并
for(line u:p[i])if(u.r>u.l) add(u.l,u.r,u.t);
ans+=mc[0]*(mn[0]==0);
}
cout<<ans<<'\n';
return 0;
}
祝大家学习愉快！
