题解-洛谷P4139 上帝与集合的正确用法
\(T\) 组数据，每次给定 \(p\)，求
\[\left(2^{\left(2^{\left(2^{\cdots}\right)}\right)}\right)\bmod p \]
数据范围：\(1\le T\le 1000\)，\(1\le p\le 10^7\)。
这篇题解主要是给自己看的，因为小蒟蒻从未见过这种骚操作。
首先这个式子虽是无限的，但是答案是固定的。
- 先来几个引理
\[a^{\varphi(p)}\equiv1\pmod p
\]
\[a^b\equiv a^{(b\bmod \varphi(p))+\varphi(p)}\pmod p
\]
所以上面那个递归式可以转化：
\[2^{\left(2^{\left(2^{\cdots}\right)}\right)}\equiv 2^{\left(2^{\left(2^{\cdots}\right)}\bmod\varphi(p)\right)+\varphi(p)}\pmod p
\]
所以可以先求 \(\left(2^{\left(2^{\left(2^{\cdots}\right)}\right)}\right)\bmod \varphi(p)\)，又可以先求 \(\left(2^{\left(2^{\left(2^{\cdots}\right)}\right)}\right)\bmod \varphi(\varphi(p))\)……最终一直递归下去。
\[\because
\begin{cases}
\varphi(1)=1\\
\varphi(p)<p&p>1\\
\end{cases}\\
\therefore \varphi(\varphi(\varphi(\cdots\varphi(p)\cdots)))=1\\
\]
因为 \(\left(2^{\left(2^{\left(2^{\cdots}\right)}\right)}\right)\bmod 1=0\)，所以递归有边界了，可以开码了。
时间复杂度 \(\Theta({\rm max}p+T\log^2 p)\)。
- 代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x(a) a.first
#define y(a) a.second
#define b(a) a.begin()
#define e(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
//Data
const int N=1e7;
//Sieve
bitset<N+7> np;
int phi[N+7];
vector<int> pr;
void Sieve(){
np[1]=phi[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++){
if(!np[i]) pr.pb(i),phi[i]=i-1;
for(int p:pr)if(i*p<=N){
np[i*p]=1;
if(i%p==0){phi[i*p]=phi[i]*p;break;}
phi[i*p]=phi[i]*phi[p];
} else break;
}
}
//Pow
int Pow(int a,int x,int mod){
if(a==0) return 0; int res=1;
for(;x;a=1ll*a*a%mod,x>>=1)if(x&1) res=1ll*res*a%mod;
return res;
}
int Jump(int p){ // 两行核心代码
if(p==1) return 0;
return Pow(2,Jump(phi[p])+phi[p],p);
}
//Main
int main(){
int t; scanf("%d",&t);
Sieve();
for(int ti=1;ti<=t;ti++){
int p; scanf("%d",&p);
printf("%d\n",Jump(p));
}
return 0;
}
祝大家学习愉快！
