题解-[SDOI2016]征途
[SDOI2016]征途
给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\{n\}\),将其分为连续 \(m\) 段,和分别为 \(v\{m\}\)。\(v\{m\}\) 的方差为 \(E\),求 \(\left(m^2\times E\right)_{\min}\)。
\(1\le n\le 3000\),\(1\le \sum a_i\le 30000\)。
复习斜率优化第一题,遇到好多麻烦,写一篇题解记录。
首先推式探索 \(m^2\times E\) 的本质:
设 \(sum=\sum a_i=\sum v_i\)。
很明显 \(-sum^2\) 是定值,所以要求 \(\left(m^2\times E\right)_{\min}\),应该先求 \(\left(\sum\limits_{i=1}^mv_i^2\right)_{\min}\)。
考虑到 \(n\) 很迷你,可以 \(\texttt{dp}\)。
\(F_{t,i}\) 表示前 \(t\) 段包含 \(a_1\sim a_i\) 的 \(\left(\sum\limits_{h=1}^tv_h^2\right)_{\min}\)。
假设 \(v_t=\sum_{h=j+1}^ia_h\)。
可以有递推式:
如果 \(s_i=\sum\limits_{h=1}^ia_h\),用 \(f\) 表示 \(F_t\),用 \(g\) 表示 \(F_{t-1}\),那么上式变为:
考虑 \(j=k\) 比 \(j=t\) 更优的情况:
然后老套路,把 \((g_j,g_j+s_j^2)\) 当做点,单调队列维护一个下凸壳,实现 \(\texttt{dp}\)。
re int l,r; re vector<int> q(n+7);
for(re int i=1;i<=n;i++) dp[1][i]=p2(sm[i]);
for(re int t=2;t<=m;t++){
f=dp[t&1],g=dp[(t&1)^1],l=1,r=0,q[++r]=0; //奇淫技巧①:用指针 f,g 来定位滚动数组
for(re int i=1;i<=n;i++){
while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<=2.0*sm[i]) l++;
//奇淫技巧②:取min维护下凸壳,用<=,取max维护上凸壳,用>=
f[i]=g[q[l]]+p2(sm[i]-sm[q[l]]);
while(l<r&&slope(q[r-1],q[r])>=slope(q[r],i)) r--; //奇淫技巧③:递推前后两句话用不同比较符号
q[++r]=i;
}
}
最后的答案就是 \(m\cdot f_n-sum^2\)。
时间复杂度 \(\Theta(mn)\),空间复杂度 \(\Theta(n)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//Start
#define re register
#define il inline
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define db double
#define lng long long
#define fi first
#define se second
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
//Data
const int N=3000; /* dp[i][j]:i-th day ***/
int n,m,dp[2][N+7],*f,*g; /** j-th section **/
vector<int> a,sm; /*** val min sum()^2 */
//DP
template<typename T>il T p2(re T x){return x*x;}
il db slope(re int x,re int y){ //斜率函数用double
return 1.0*((g[x]+p2(sm[x]))-(g[y]+p2(sm[y])))/(sm[x]-sm[y]);
}
il int DP(){
re int l,r; re vector<int> q(n+7);
for(re int i=1;i<=n;i++) dp[1][i]=p2(sm[i]);
for(re int t=2;t<=m;t++){
f=dp[t&1],g=dp[(t&1)^1],l=1,r=0,q[++r]=0;
for(re int i=1;i<=n;i++){
while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<=2.0*sm[i]) l++;
f[i]=g[q[l]]+p2(sm[i]-sm[q[l]]);
while(l<r&&slope(q[r-1],q[r])>=slope(q[r],i)) r--;
q[++r]=i;
}
}
return f[n];
}
//Main
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m),a=sm=vector<int>(n+7);
for(re int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),sm[i]=sm[i-1]+a[i];
printf("%d\n",m*DP()-p2(sm[n])); //别忘了求最终答案啊
return 0;
}
祝大家学习愉快!