题解-[SDOI2014]数数
[SDOI2014]数数
这题的前置知识是AC自动机和dp，前置题目是 [JSOI2007]文本生成器，前置题目我写的题解 题解-[JSOI2007]文本生成器。我的讲解假设你做过上面那道题。
这题比上面那题多个条件，我因此多调了 \(3\) 个小时。多的条件：答案要不大于整数 \(n\)。所以AC自动机部分同上，改变dp部分。
解：\(dp[i][j][k]\) 表示文本串（幸运数）长度为 \(i\)，结尾是AC自动机上的节点 \(j\)，\(k\) 表示这个文本串下一个字符是否受 \(n\) 某个数位大小的限制（如果受限制，\(k=1\)；否则，\(k=0\)）。\(mk[i]\) 表示 \(i\) 这个AC自动机上节点是否为某个不幸运的数结尾。
仔细读题会发现：模式串中含有 \(0\) 前置，而文本串不能以 \(0\) 开头。所以有（所有数组下标从 \(1\) 开始，\(1\le n[1]\le 9\)，因为 \(ch[1][i]\) 会有重复所以用 \(++\) 而非 \(=1\)）：
然后如果上式 \(i\) 取 \(n[1]\)，那么这个字符串的下一位就会受到 \(n[2]\) 大小的限制，所以有：
综上，有代码：
for(int i=1;i<=w[1]-'0';i++)
if(!mk[ch[1][i]])//不能选到不幸运的子串
(f[1][ch[1][i]][i==w[1]-'0']+=1)%=mod; //Orz
为了避免算上首位为 \(0\) 的文本串，上面的代码没有 \(dp[1][ch[1][0]][0]++\)。为了计算那些位数小于 \(n\) 的文本串，则有：
为了防止 \(\texttt{MLE}\)，dp用滚动数组，所以有代码：
for(int i=2;i<=m;i++){
memset(f[i&1],0,sizeof f[i&1]);//滚动数组必须清空
for(int j=1;j<=9;j++)
if(!mk[ch[1][j]])
(f[i&1][ch[1][j]][0]+=1)%=mod;//Orz
初始化完了，重点就来了——递推公式。如果某个文本串合法，那么在它后面加一个字符，如果这个文本串还是 \(\le n\) ，并且不包含不幸运的子串，那么它就是合法的。
转化为dp递推式（\(cnt\) 表示AC自动机节点个数）：
这里是递推，所以这就相当于在求一个数中间的一个数位，所以可以取 \(0\)
除非取的文本串对 \(n\) 位位紧逼，要不然下一位就不受 \(n\) 数位大小的限制。
取的文本串对 \(n\) 位位紧逼。
代码：
for(int j=1;j<=cnt;j++){
if(mk[j]) continue;
if(f[(i-1)&1][j][0])
for(int c=0;c<=9;c++)
if(!mk[ch[j][c]])
(f[i&1][ch[j][c]][0]+=f[(i-1)&1][j][0])%=mod;
if(f[(i-1)&1][j][1])
for(int c=0;c<=w[i]-'0';c++)
if(!mk[ch[j][c]])
(f[i&1][ch[j][c]][c==w[i]-'0']+=f[(i-1)&1][j][1])%=mod;
}
最后答案为 \(ans\)，就有：
如果你懂了，蒟蒻就放dp代码了：
void dp(){
for(int i=1;i<=w[1]-'0';i++)
if(!mk[ch[1][i]])
(f[1][ch[1][i]][i==w[1]-'0']+=1)%=mod; //Orz
for(int i=2;i<=m;i++){
memset(f[i&1],0,sizeof f[i&1]);
for(int j=1;j<=9;j++)
if(!mk[ch[1][j]])
(f[i&1][ch[1][j]][0]+=1)%=mod;//Orz
for(int j=1;j<=cnt;j++){
if(mk[j]) continue;
if(f[(i-1)&1][j][0])
for(int c=0;c<=9;c++)
if(!mk[ch[j][c]])
(f[i&1][ch[j][c]][0]+=f[(i-1)&1][j][0])%=mod;
if(f[(i-1)&1][j][1])
for(int c=0;c<=w[i]-'0';c++)
if(!mk[ch[j][c]])
(f[i&1][ch[j][c]][c==w[i]-'0']+=f[(i-1)&1][j][1])%=mod;
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)
if(!mk[i]) (((ans+=f[m&1][i][0])%=mod)+=f[m&1][i][1])%=mod;
}
整体代码（dp+AC自动机）：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1210;
const int L=1510;
const int mod=1e9+7;
class Trie{
public:
int ch[L][10],cnt;
bool mk[L];
Trie(){cnt=1;}
void insert(char*s){
int n_junior=strlen(s+1),p=1;
for(int i=1;i<=n_junior;i++){
int c=s[i]-'0';
if(!ch[p][c]) ch[p][c]=++cnt;
p=ch[p][c];
}
mk[p]=1;
}
};
int n,m,f[2][L][2],ans;
char w[M],s[L];
class Acam:public Trie{
public:
int fa[L];
void build(){
for(int i=0;i<=9;i++) ch[0][i]=1;
queue<int> q;
while(q.size()) q.pop(); //我因为没清零WA了5次
q.push(1);
while(q.size()){
int x=q.front();q.pop();
mk[x]|=mk[fa[x]];
for(int c=0;c<=9;c++)
if(ch[x][c]){
fa[ch[x][c]]=ch[fa[x]][c];
q.push(ch[x][c]);
} else ch[x][c]=ch[fa[x]][c];
}
}
void dp(){
for(int i=1;i<=w[1]-'0';i++)
if(!mk[ch[1][i]])
(f[1][ch[1][i]][i==w[1]-'0']+=1)%=mod;
for(int i=2;i<=m;i++){
memset(f[i&1],0,sizeof f[i&1]);
for(int j=1;j<=9;j++)
if(!mk[ch[1][j]])
(f[i&1][ch[1][j]][0]+=1)%=mod;
for(int j=1;j<=cnt;j++){
if(mk[j]) continue;
if(f[(i-1)&1][j][0])
for(int c=0;c<=9;c++)
if(!mk[ch[j][c]])
(f[i&1][ch[j][c]][0]+=f[(i-1)&1][j][0])%=mod;
if(f[(i-1)&1][j][1])
for(int c=0;c<=w[i]-'0';c++)
if(!mk[ch[j][c]])
(f[i&1][ch[j][c]][c==w[i]-'0']+=f[(i-1)&1][j][1])%=mod;
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)
if(!mk[i]) (((ans+=f[m&1][i][0])%=mod)+=f[m&1][i][1])%=mod;
}
}t;
int main(){
scanf("%s\n%d",w+1,&n),m=strlen(w+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%s",s+1),t.insert(s);
t.build(); t.dp();
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
祝大家学习愉快！
