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莫比乌斯反演学习笔记

莫比乌斯反演学习笔记

参考资料

https://oi-wiki.org/math/mobius/

前置知识:

整除分块 </>
积性函数 <讲>
狄利克雷卷积 <讲>


主要内容:

莫比乌斯函数 <讲>
莫比乌斯反演 <讲>
莫比乌斯例题 <讲>

[HAOI2011]Problem b
LCMSUM
[国家集训队]Crash的数字表格
[SDOI2015]约数个数和


积性函数

定义:如果 \(\gcd(x,y)=1\) 并且 \(f(xy)=f(x)f(y)\),则 \(f(n)\) 为积性函数。

性质:如果 \(f(x)\)\(g(x)\) 均为积性函数,那么如下函数也是积性函数:

\[h(x)=f(x^p) \]

\[h(x)=f^p(x) \]

\[h(x)=f(x)g(x) \]

\[h(x)=\sum\limits_{d\mid x}f(d)g(\frac xd) \]

例子:

单位函数:\(\epsilon(x)=[x=1]\)

常数函数:\(1(x)=1\)

欧拉函数:\(\varphi(x)=\sum\limits_{i=1}^x[\gcd(x,i)=1]\)

莫比乌斯函数也是,下文会讲。


狄利克雷(Dirichlet)卷积

定义:

两个数论函数 \(f\)\(g\) 的狄利克雷卷积 \((f*g)\)

\[(f*g)(x)=\sum\limits_{d|x}f(d)g(\frac xd) \]

性质:满足交换和结合律,\(\epsilon\) 是该函数单位元,每个函数卷它都得本身。

例子:

\[d(x)=(1*1)(x)=\sum\limits_{d|x}1 \]

\[\sigma(x)=(1*d)(x)=\sum\limits_{d|x}d \]

\[\epsilon(x)=(\mu*1)(x)=\sum\limits_{d|x}\mu(d) \]

\[\varphi(x)=(\mu*ID)(x)=\sum\limits_{d|x}d\cdot\mu(\frac xd) \]

(这里的 \(\mu\) 就是过会儿的莫比乌斯函数)。


莫比乌斯函数

定义:莫比乌斯函数符号为 \(\mu\)

\[\mu(x)= \begin{cases} 1 & x=1\\ 0 & \exists d\in\mathbb{Z}:d^2\mid x\\ (-1)^k & k 为 x 本质不同的的质因子个数\\ \end{cases} \]

说明:如果有 \(x=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{c_i}\),那么

  1. 如果 \(x=1\),那么 \(\mu(x)=1\)
  2. 如果 \(\forall i:c_i=1\),那么 \(\mu(x)=(-1)^k\)
  3. 否则 \(\mu(x)=0\)

性质:

  1. \(\mu*1=\epsilon\),即 \(\sum\limits_{d\mid x}\mu(d)=\epsilon(x)\),或

\[\sum\limits_{d\mid x}\mu(d)= \begin{cases} 1 & x=1\\ 0 & x\neq 1\\ \end{cases} \]

  1. \(\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}\)

  2. 反演结论:\([\gcd(i,j)=1]=\epsilon(\gcd(i,j))=\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)\)

  3. 拓展:\(\varphi*1=ID\)\(\sum\limits_{d|nm}=\sum\limits_{x|n}\sum\limits_{y|m}[\gcd(x,y)=1]\)

线性筛求莫比乌斯函数:

void Mobius(int n){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!np[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
			np[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

莫比乌斯反演

如果有两个数量函数 \(f\)\(g\),满足

\[f(x)=\sum\limits_{d|x}g(d) \]

那么就有

\[g(x)=\sum\limits_{d|x}f(d)\cdot\mu(\frac xd) \]

证明:

即已知 \(f=g*1\),证明 \(g=f*\mu\)

证:\(f*\mu=g*1*\mu=g*\epsilon=g\)


经典例题

[HAOI2011]Problem b

[HAOI2011]Problem b

\(T\) 组测试数据,给定 \(a,b,c,d,k\)

\[\sum\limits_{i=a}^b\sum\limits_{j=c}^d[\gcd(i,j)=k] \]

数据范围:\(1\le T,a,b,c,d,k\le 5\times 10^4\)


如果令

\[f(n,m)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=k] \]

容斥一下,则有题目中的式子 \(=f(b,d)+f(a-1,c-1)-f(a-1,d)-f(b,c-1)\)

然后

\[\begin{split} f(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=k]\\ =&\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk \rfloor}[\gcd(i,j)=1]\\ =&\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk \rfloor}\epsilon(\gcd(i,j))\\ =&\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk \rfloor}\sum\limits_{d\mid \gcd(i,j)}\mu(d)\\ =&\sum\limits_{d=1}^{\min\{n,m\}}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}[d\mid i]\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk \rfloor}[d\mid j]\\ =&\sum\limits_{d=1}^{\min\{n,m\}}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac n{kd}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac m{kd} \rfloor}\\ =&\sum\limits_{d=1}^{\min\{n,m\}}\mu(d)\lfloor \frac n{kd}\rfloor\lfloor \frac m{kd} \rfloor\\ \end{split} \]

然后用莫比乌斯函数前缀和 \(+\) 整除分块计算即可,时间复杂度 \(\Theta(N+T\sqrt n)\)

Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define lng long long
#define lit long double
#define kk(i,n) "\n "[i<n]
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;

//&Mobius
const int N=5e4;
bitset<N+10> np;
int mu[N+10],cnt,p[N+10];
void Mobius(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!np[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;j++){
			np[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1]; 
}

//&Fenk
int Fenk(int n,int m){
	int res=0,mn=min(n,m);
	for(int l=1,r;l<=mn;l=r+1){
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		res+=(mu[r]-mu[l-1])*(n/l)*(m/l);
	}
	return res;
}

//&Data
int t,a,b,c,d,k;

//&Main
int main(){
	Mobius();
	scanf("%d",&t);
	for(int ti=1;ti<=t;ti++){
		scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
		printf("%d\n",
			+Fenk(b/k,d/k)
			+Fenk((a-1)/k,(c-1)/k)
			-Fenk((a-1)/k,d/k)
			-Fenk(b/k,(c-1)/k)
		);
	}
	return 0;
}


LCMSUM

LCMSUM

\(T\) 组数据,给定 \(n\),求 $$\sum\limits_{i=1}^n\operatorname{lcm}(i,n)$$

数据范围:\(1\le T\le 3\times 10^5\)\(1\le n\le 10^6\)


\[\begin{split} g(n)=&\sum\limits_{i=1}^n\operatorname{lcm}(i,n)\\ =&\sum\limits_{i=1}^n\frac{in}{\gcd(i,n)}\\ =&\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(i,n)=d]\frac id n\\ =&\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^{\frac nd}[\gcd(i,\frac nd)=1]in\\ =&n\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^{\frac nd}[\gcd(i,\frac nd)=1]i\\ \end{split} \]

\[f(n)=\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(n,i)=1]i \]

\[\because \gcd(n,i)=\gcd(n,n-i) \]

\[\therefore [\gcd(n,i)=1]=[\gcd(n,n-i)=1] \]

\[[\gcd(n,i)=1]i+[\gcd(n,n-i)](n-i)=n[\gcd(n,i)=1] \]

\[\therefore f(n)=\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(n,i)=1]i=\frac {\varphi(n)n}{2} \]

\[\begin{split} \therefore g(n)=&n\sum\limits_{d|n}f(\frac nd)\\ =&n\sum\limits_{d|n}\frac {\varphi(\frac nd)\frac nd}{2}\\ =&n\sum\limits_{d|n}\frac {\varphi(d)d}{2}\\ \end{split} \]

然后码的时候,维护一个前缀和

\[sum(n)=\sum\limits_{d|n}\frac {\varphi(d)d}{2} \]

即可,然后总时间复杂度就是 \(\Theta(n\log\log n+T)\)

Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define lng long long
#define lit long double
#define kk(i,n) "\n "[i<n]
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;

//&Eular
const int N=1e6;
bitset<N+10> np;
int phi[N+10],cnt,p[N+10];
lng f[N+10];
void Eular(){
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!np[i]) p[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;j++){
			np[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}
			else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++) f[i]=1ll*phi[i]*i/2;
	for(int j=1;j<=cnt;j++)
		for(int i=1;i*p[j]<=N;i++)
			f[i*p[j]]+=f[i]; //用f数组自得sum
}

//&Data
int t,n;

//&Main
int main(){
	Eular();
	scanf("%d",&t);
	for(int ti=1;ti<=t;ti++){
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld\n",f[n]*n);
	}
	return 0;
}

[国家集训队]Crash的数字表格

[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB

单组测试数据,给定 \(n,m\) ,求

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)\bmod 20101009 \]

数据范围:\(1\le n,m\le 10^7\)


\(n\le m\),一气呵成:

\[\begin{split} g(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)\\ =&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\frac{ij}{\gcd(i,j)}\\ =&\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\frac{ij}{d}[\gcd(i,j)=d]\\ =&\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}ijd[\gcd(i,j)=1]\\ =&\sum\limits_{d=1}^n d\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}i\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}j\sum\limits_{k|\gcd(i,j)}\mu(k)\\ =&\sum\limits_{d=1}^n d\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}i[k|i]\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}j[k|j]\\ =&\sum\limits_{d=1}^n d\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac {n}{dk}\rfloor}ik\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac {m}{dk}\rfloor}jk\\ =&\sum\limits_{d=1}^n d\sum\limits_{k=1}^nk^2\mu(k)\frac{\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor(\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor+1)}{2}\cdot\frac{\lfloor\frac{m}{dk}\rfloor(\lfloor\frac{m}{dk}\rfloor+1)}{2}\\ \end{split} \]

\(x=dk\) 带入:

\[g(n,m)=\sum\limits_{x=1}^nx\cdot\frac{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor(\lfloor\frac{n}{x}\rfloor+1)}{2}\cdot\frac{\lfloor\frac{m}{x}\rfloor(\lfloor\frac{m}{x}\rfloor+1)}{2}\sum\limits_{k|x}k\mu(k) \]

然后筛 \(\mu(k)\) 时顺便计算 \(h(k)=k\mu(k)\),最后狄利克雷前缀和求 \(f(k)=\sum\limits_{k|x}k\mu(k)\)

别忘了膜拜 \(20101009\),时间复杂度 \(\Theta(N+n)\)

Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define lng long long
#define lit long double
#define kk(i,n) "\n "[i<n]
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;

//&Mobius
const int N=1e7;
const int mod=20101009;
bitset<N+10> np;
int mu[N+10],cnt,p[N+10],f[N+10];
void Mobius(){
	f[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!np[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		f[i]=(mu[i]*i+mod)%mod;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;j++){
			np[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int j=1;j<=cnt;j++)
		for(int i=1;i*p[j]<=N;i++)
			(f[i*p[j]]+=f[i])%=mod; //狄利克雷前缀和
}


//&Data
int n,m,ans;
int bitfun(int x){
	lng res=1ll*x*f[x]%mod;
	(res*=1ll*(n/x+1)*(n/x)/2%mod)%=mod;
	(res*=1ll*(m/x+1)*(m/x)/2%mod)%=mod; //如上
	//这个1ll不乘要爆long long,30分。
	return (int)res;
}

//&Main
int main(){
	Mobius();
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if(n>m) swap(n,m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		(ans+=bitfun(i))%=mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

[SDOI2015]约数个数和

[SDOI2015]约数个数和

\(T\) 组测试数据,给定 \(n,m\),求

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^md(ij) \]

其中 \(d(x)=\sum\limits_{k|x}\)

数据范围:\(1\le n,m,T\le 5\times 10^4\)


\(n\le m\)

\[\begin{split} g(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^md(ij)\\ =&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[\gcd(x,y)=1]\\ =&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}\sum\limits_{k|\gcd(x,y)}\mu(k)\\ =&\sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^m\sum\limits_{i=1}^n[x|i]\sum\limits_{j=1}^m[y|j]\sum\limits_{k|\gcd(x,y)}\mu(k)\\ =&\sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^m\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\frac{m}{y}\rfloor\sum\limits_{k|\gcd(x,y)}\mu(k)\\ =&\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{x=1}^n[k|x]\sum\limits_{y=1}^m[k|y]\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\frac{m}{y}\rfloor\\ =&\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum\limits_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\lfloor\frac{n}{kx}\rfloor\lfloor\frac{m}{ky}\rfloor\\ =&\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum\limits_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}{x}\rfloor\lfloor\frac{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}{y}\rfloor\\ \end{split} \]

设整除分块函数 \(\operatorname{fenk}(n)=\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)

所以上式

\[\begin{split} =&\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\operatorname{fenk}(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor)\operatorname{fenk}(\lfloor\frac{m}{k}\rfloor)\\ \end{split} \]

然后分块套分块,加个莫比乌斯前缀和,即可。

Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define lng long long
#define lit long double
#define kk(i,n) "\n "[i<n]
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;

//&Mobius
const int N=5e4;
bitset<N+10> np;
int p[N+10],cnt,mu[N+10];
void Mobius(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!np[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;j++){
			np[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=2;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1];//莫比乌斯前缀和
}

//&Fenk
lng fk[N+10];
lng Fenk(int n){//fenk函数
	lng res=0;
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
		r=n/(n/l),res+=1ll*(r-l+1)*(n/l);
	return res;
}

//&Data
int t,n,m;

//&Main
int main(){
	Mobius();
	for(int i=1;i<=N;i++)
		fk[i]=Fenk(i);
	scanf("%d",&t);
	for(int ti=1;ti<=t;ti++){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(n>m) n^=m^=n^=m;
		lng ans=0;
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){//外层大分块
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			ans+=fk[n/l]*fk[m/l]*(mu[r]-mu[l-1]);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}


如果有感悟或经验,后期会更新,感谢支持。

祝大家学习愉快!

posted @ 2020-03-08 13:02  George1123  阅读(486)  评论(3编辑  收藏  举报