数论-整除分块
数论-整除分块
这个蒟蒻太蒻了,希望这篇文章能成为自己恶补数论的开始。
参考资料
https://blog.csdn.net/beautiful_CXW/article/details/83143756
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\(\texttt{讲解证明}\)
整除分块就是用来求像
这样的式子的。
很明显,直接求要 \(\Theta(n)\),但是整除分块只需要 \(\Theta(\sqrt n)\)。
整除分块的第一步是发现不同的 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 的数量。
如果 \(i\le\sqrt n\):
很明显,因为 \(i\) 最多 \(\sqrt n\) 种,所以 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 最多 \(\sqrt n\) 种。
如果 \(i>\sqrt n\):
因为 \(\frac{n}{i}<\sqrt n\),所以 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 也不到 \(\sqrt n\) 种。
总结:不同的 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 不到 \(2\sqrt n\) 种。
第二步是计算答案。因为 \(f(i)=\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 的单调性,所以 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 相同的 \(i\) 是相邻的。
显而易见的结论:对于 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor=d\),\(i\in(\lfloor\frac{n}{d+1}\rfloor,\lfloor\frac{n}{d}\rfloor]\)。
比如 \(n=100,d=6\)。所以 \(i\in(14,16]\)
所以可以以 \(l=\lfloor\frac{n}{d+1}\rfloor+1,r=\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\) 为循环变量,
。
\(\texttt{代码实现}\)
讲解证明一定要仔细看,要不然代码是看不懂的。特短。必须要全局开 \(\texttt{long long}\),这代码可是要过 \(n=10^{12}\) 的数据的!
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//&Start
#define lng long long
#define lit long double
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;
//&Main
lng n,ans;
int main(){
scanf("%lld",&n);
for(lng l=1,r;l<=n;l=r+1)
r=n/(n/l),ans+=(r-l+1)*(n/l);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
\(\texttt{经典例题}\)
[CQOI2007]余数求和
求 \(G(n,k)=\sum\limits_{i=1}^nk\bmod i\)。
数据范围:\(1\le n,k\le 10^9\)。
推一下(这总得看得懂吧):
(首项加末项乘项数除以 \(2\))。
注意了,有可能 \(k<n\)。所以
。
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//&Start
#define lng long long
#define lit long double
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;
//&Main
lng n,k,ans;
int main(){
scanf("%lld%lld",&n,&k),ans=n*k;
for(lng l=1,r;l<=n;l=r+1)
r=(k/l)?min(k/(k/l),n):n,ans-=(l+r)*(r-l+1)/2*(k/l);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
我还是太蒻了 ,祝大家学习愉快!