笔记-斯特林数的四种求法

洛谷P5409 第一类斯特林数-列

luogu

类似第二类，构造 EGF：

\[\frac{\left(\sum_{i=1}^{+\infty} (i-1)!\frac{x^i}{i!}\right)^k}{k!} \]

多项式快速幂即可（别忘了保证常数项不为 \(0\)）。

aclink。

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洛谷P5395 第二类斯特林数-行

luogu

给 \(n\) 个球染 \(m\) 中颜色的方案数：

\[m^n=\sum_{i=0}^m {m\choose i} \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i! \]

暴力反演：

\[g(m)=m^n,f(m)=\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}m!\\ g(m)=\sum_{i=0}^m {m\choose i} f(i)\Longleftrightarrow f(m)=\sum_{i=0}^m (-1)^{m-i} {m\choose i} g(i)\\ \begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}m!=f(m)=\sum_{i=0}^m (-1)^{m-i} {m\choose i} i^n\\ \begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^m \frac{i^n}{i!}\cdot \frac{(-1)^{m-i}}{(m-i)!}\\ \]

直接 NTT 即可：aclink。

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洛谷P5396 第二类斯特林数-列

luogu

先学个 EGF 做法，设 \(k\) 个盒子不同，那么每个盒子的 EGF：\(\sum\limits_{i=1}^{+\infty} \frac{x^i}{i!}=e^x-1\)。

然后 \(k\) 个盒子就是 \((e^x-1)^k\)。答案 EGF 就是 \(\frac{(e^x-1)^k}{k!}\)。

aclink。