【译文】导数的悖论

（以下机翻，仅供个人学习）

“就数学理论而言，它们是关于现实的，它们是不确定的；就它们是确定的而言，它们不是关于现实的。” - 艾尔伯特爱因斯坦

这次的目标很简单：解释什么是导数。但事实是，这个话题有一些微妙之处，如果你不小心的话，可能会出现一些悖论，所以第二个目标是你对这些悖论是什么以及如何避免它们有一些了解。

人们通常说导数衡量的是“瞬时变化率”，但如果你仔细想想，这句话实际上是一个矛盾的说法。改变是在不同的时间点之间发生的事情，当你对所有的一切都视而不见，只看到一个瞬间时，就没有更多的改变空间了。

即使“瞬时变化率”这个短语严格来说没有意义，但这个短语所要调用的却是一个非常真实的概念。微积分的发明者花了相当多的聪明才智才确定了这个想法，我们现在称之为导数。

（几位）微积分的发明者

汽车搬家

作为我们的中心示例，想象一辆在某个时刻启动的汽车加速，然后在某个时刻减慢至停止数米之外，在整个过程中1010 seconds. 秒。不同时间点两点之间汽车的位置。

我们可以绘制这个运动的图表，让垂直轴代表行进的距离，水平轴代表时间。

 行驶距离（米）

每一次t,用水平轴上的点表示，图表的高度告诉我们汽车在这段时间内行驶了多远。像这样命名距离函数是很常见的s(t)

我们用字母d表示距离，只不过它在微积分中已经有了另一个全职工作。

例如，图形的高度告诉我们，6秒后汽车行驶了70米多一点。

行驶距离（米）t=6.

最初这条曲线很浅，因为汽车起步时速度很慢。在第一秒内，汽车行驶的距离几乎没有变化。在接下来的几秒钟内，随着汽车加速，给定秒内行驶的距离变得更大，对应于图中更陡的斜率。当接近终点时速度减慢，曲线再次变浅。

该图突出显示了不同时间间隔的图表斜率，其中斜率计算为每个时间间隔的上升幅度。
如果我们将汽车的速度（以米每秒为单位）绘制为时间的函数，它可能看起来像下图中所示的绿色凸起。

距离和速度图

在时间t=0后不久，速度非常小。在行驶的中途，汽车会达到一定的最大速度，每秒行驶相对较长的距离。然后减慢到每秒0米的速度。

位置和速度

这两条曲线彼此高度相关；如果更改特定的距离与时间函数，您将得到一些不同的速度与时间函数。我们想了解这种关系的具体情况。速度究竟如何取决于距离与时间的函数？例如，让我们看一下不同的距离与时间函数。

在此图中，汽车从停止位置出发，加速并减速回到停止位置5秒时间，然后汽车加速并再次减速至停止位置10秒时间。

值得花点时间批判性地思考速度在这里的实际含义。直观上，我们都知道给定时刻的速度意味着什么，它就是汽车车速表当时显示的任何内容。直观上，当距离函数更陡峭时，有时速度应该更高，这可能是有意义的。当汽车单位时间内行驶的距离更长时。

例如，给定如下所示的汽车位置图，汽车在什么时间行驶得最快？

（汽车行驶的最快速度为t=3）

但有趣的是，单一时刻的速度是没有意义的。或者至少如果我们将速度视为距离的变化除以时间的变化，那么将我们的视图隔离到单个时刻就不会为这两种变化留下空间。如果我给你看一张汽车的照片，瞬间的快照，并问你它的速度有多快，你将无法告诉我。

你需要的是两个时间点来比较，也许是比较4秒后走的距离和5秒后走的距离。这样，就可以用距离变化量除以时间变化量。例如，下面的两个快照显示了汽车的位置。

利用这些信息，我们可以计算出该时间间隔内汽车的速度。

\[\mathrm{Velocity}\implies\underbrace{{\mathrm{Change~in~distance}}}*{\mathrm{Change~in~time}}\implies{\frac{(50-30)\;\mathrm{meters}}{(5-4)\;\mathrm{seconds}}}*{\mathrm{C}} \]

这就是速度，在给定时间内走过的距离。
那么，我们如何看待一个速度的函数，它只取一个t值，一个时间快照。很奇怪，不是吗?我们想把每个单独的时间点和速度联系起来，但是计算速度需要比较两个时间点。

如果这感觉很奇怪和矛盾，那很好！你正在努力解决微积分发明者所面临的同样的冲突，如果你想深入了解变化率，不仅仅是对于移动的汽车，而是对于科学中的各种场景，你需要一个解决方案这种明显的悖论。

变化率

首先我们来谈谈现实世界，然后我们将进入一个纯数学的世界。考虑一下如何为汽车建造一个实际的车速表。

在某个点上，比如行驶了3秒，速度计可能会测量汽车在很短的时间内走了多远，可能是行驶了3秒到3.01秒之间的距离。然后计算速度的单位是米/秒等于这个很小的距离，米，除以这个很小的时间，0.01秒。

也就是说，实体汽车可以通过不在单个时间点实际计算速度，而是在非常短的时间内计算速度来回避这个悖论。

\[\mathrm{Velocity}\implies\underbrace{\mathrm{Change~in~distance}}_{\mathrm{Change~in~time}}\implies{\frac{(20.21-20)\;\mathrm{meters}}{(3.01-3)\,\mathrm{seconds}}}_{\mathrm{C}} \]

让我们把这个时间差称为“dt”，你可以把它想象成0.01秒，把由此产生的距离差称为“ds”。所以那个时间点的速度是ds除以dt，距离的微小变化除以时间的微小变化。

从图形上看，想象一下放大t=3上方距离与时间图的点。dt是向右的一小步，因为时间在横轴上，而ds是图形高度的最终变化，因为纵轴表示行进的距离。

所以ds/dt是图表上两个非常接近的点之间的上升与运行斜率。

\[\frac{d s}{d t}=\frac{\mathrm{rise}}{\mathrm{run}} \]

当然，t=3没有什么特别的，我们可以把它应用到任何时间点，所以我们把这个表达式ds/dt看作是t的函数，我可以给你一些时间，你可以给我这个比值在那个时间的值;速度作为时间的函数。

放大的上升超过运行的图像t=6

例如，当我让计算机绘制代表速度函数的凹凸曲线时，您可以将其视为每个点的距离与时间函数的斜率，这就是我让计算机执行的操作：

首先，我选择了一些小的dt值，比如0.01。然后，我让计算机在00到1010之间多次观察t，并计算距离函数s在(t+dt)减去这个函数在t处的值。即给定时间t与其后0.01秒之间的距离差。然后用时间差除以时间变化dt，这就得到了每一点周围的速度，单位是米每秒。

\[\frac{d s}{d t}(t)=\frac{s(t+d t)-s(t)}{d t} \]

有了这个公式，你可以给计算机任何表示距离函数s(t)的曲线，它可以计算出表示速度v(t)的曲线。

悖论

现在是暂停一下，思考一下的好时机，确保通过观察时间的微小变化把距离和速度联系起来的想法是有意义的，因为现在我们要正面解决导数的悖论。ds/dt的概念，函数值s的微小变化除以输入值tt的微小变化，几乎就是导数。

即使我们汽车的速度计会观察实际的时间变化，比如0.01秒来计算速度，即使我这里的程序用来求给定位置函数的速度函数也使用了一个具体的dt值，在纯数学中，对于任何特定的dt选择，导数都不是这个比值。它是当dt趋近于0时比值的值。

切线

幸运的是，对于这个比值的含义有一个很好的直观理解:对于任何特定的dtdt，这个比值ds/dt是经过图上两点的直线的斜率，也就是割线。

当dt趋近于0时，这两点彼此趋近，这条割线的斜率趋近于图上任意一点tt的切线的斜率。所以真正的导数，不是图上两个相邻点之间的上升-超越斜率;它等于图像在一点处的切线的斜率。

注意我没说什么:我没说当dt无穷小的时候导数是什么，不管这意味着什么，我也没说把dt代入0。遵循微积分的一般主题，这是一个两步的过程首先考虑一个有限的小变化，一个实际的数字，比如0.0001，然后问当这个数字接近0时，你的答案是多少。

即使瞬间的变化没有意义，但询问在越来越短的时间内的变化率是有意义的。这是一种偷偷摸摸的方式来合理地讨论单个时间点的变化率。是不是很简洁?它在一瞬间与变化的悖论调情，而不需要触摸它。

更奇妙的是，这个关于不同变化率的潜在抽象概念如何最终具有如此清晰和简单的几何意义。因为两个相邻点之间的割线的斜率接近其中一个点的切点的斜率当这两个点靠近时。

由于瞬间的变化仍然没有意义，与其将这条切线的斜率解释为“瞬时变化率”，不如将其视为围绕某一点的变化率的最佳常数近似值。

符号上的单词

在本文中，我一直使用“dt”来表示t中具有一定实际大小的微小变化，而使用“ds”来表示s中产生的微小变化，s也具有实际大小。

但是微积分中的惯例是，每当你像这样使用字母d时，你就在宣布，你的目的是最终看到当dt接近0时会发生什么。例如，函数s(t)的真实导数被写成ds/dt，即使导数本身不是分数;它是这个分数在t中越小越接近的值。

例子

这里有一个具体的例子。你可能认为当dt值越来越小的时候求这个比值会让计算变得越来越困难，但与直觉相反，它会让事情变得更容易。假设距离对时间的函数是t3。11秒后，车行驶了1^{3=1米，2秒后，车行驶了2}3=8米，以此类推。该函数如下所示。

该图描绘了位置函数s(t)=t^3，并突出显示了t=2的点。

我接下来要做的可能看起来有点复杂，但一旦尘埃落定，它真的很简单，这是一种你在微积分中只需要做一次的事情。假设你想要特定时刻的速度ds/dt，比如t=2。现在，假设dt有一个实际的大小;我们马上把它降到0。

该图说明了近似速度t=2.

从2秒到2+dt秒的微小变化是s(2+dt) - s(2)除以dt

\[{\frac{d s}{d t}}(2)={\frac{s(2+d t)-s(2)}{d t}} \]

由于 \(s(t)=t^{3}\)，我们可以应用函数的定义，所以分子变成(2+dt)^3 - 2^3。

\[{\frac{d s}{d t}}(2)={\frac{(2+d t)^{3}-(2)^{3}}{d t}} \]

现在，我们可以用代数方法来解。请耐心听我说，我向你们展示细节是有原因的。把顶部展开就得到了这个表达式:

\[{\frac{d s}{d t}}(2)={\frac{2^{3}+3\cdot2^{2}d t+3\cdot2\cdot(d t)^{2}+(d t)^{3}-2^{3}}{d t}} \]

现在有很多项，但它简化了。2^{3项消掉了。剩下的都有dt，所以我们可以把它约掉。所以ds/dt等于3·2}2加上两个不同的项，每个项都有dt。

\[\frac{d s}{d t}(2)=3(2)^{2}+3(2)(d t)+(d t)^{2} \]

所以如果我们问当dt接近0时会发生什么，表示观察越来越小的时间变化，我们可以忽略这些!由于不需要考虑特定的dt，我们已经消除了这个表达式中的许多复杂性!所以我们剩下的就是3·2^{2。这意味着在t}3的图上t=2点的切线斜率正好是3·2^2，也就是12。

当然，选择t=2没有什么特别的;更一般地说，t^{3的导数，作为t的函数，是3·t}2。

\[{\frac{d s}{d t}}(t)=3(t)^{2} \]

这是美丽的。这个导数是一个非常复杂的概念:我们有距离的微小变化除以时间的微小变化，但我们不考虑任何特定的微小时间变化我们开始讨论这个东西接近于什么。然而，我们最终得到了这样一个简单的表达式:3t^2。

在实践中，你不会每次都进行所有的代数运算。知道t^{3的导数是3t}2是所有学微积分的学生都能马上做的事情，不需要每次都重新推导，就像你知道一个简单的代数规则一样快速自动，比如x(y+z)=xy+xzx。下一章，我们会看到用几何方法来考虑这个和其他导数公式。

我想通过向你们展示所有代数知识来说明的一点是当你考虑距离变化量除以时间变化量对于任何特定的dt值，比如dt=0.01，你会有一种混乱。

但是考虑dt趋于0时这个比值是多少，你就可以忽略很多乱七八糟的东西，实际上简化了问题。

这就是微积分变得有用的核心。

零时的悖论

这个例子也为更具体地思考为什么瞬时变化率的概念是矛盾的奠定了基础。考虑这辆车按照这个t3距离函数行驶，考虑它在时刻t=0的运动。现在问你自己:汽车在那个时候移动吗?

一方面，我们可以计算它在那一点的速度用这个函数的导数，\(3t^{2}\)，在t=0时是0。

\[{\frac{d s}{d t}}(t)=3t^{2}=3(0)^{2}=0{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} \]

从视觉上看，这意味着该点与图形的切线是完全平坦的，所以汽车的“瞬时速度”是0，这表明它没有移动。但是另一方面，如果它没有在时刻0开始移动，它什么时候开始移动?真的，停下来思考一下，那辆车在t=0时移动吗?

花点时间来解释一下距离函数的导数在这一点等于0意味着什么。这意味着汽车绕这一点的速度的最佳常数近似值是0米/秒。例如，在t=0和t=0.1秒之间，汽车确实移动了，它移动了0.001米。这是非常小的，重要的是，与时间的变化量相比，这是非常小的，平均速度只有0.01米每秒。

对于时间上越来越小的位移，距离变化量与时间变化量之比接近于0，尽管在这种情况下，它永远不会达到它。所以你认为这是在t=0时移动的吗?我认为这个问题没有意义，运动是发生在两个时间点之间的事情，所以在给定的瞬间没有意义。

人们很容易认为导数给出了这个概念的意义，很多人会很高兴地说车在t=0时不运动，但在t>0时它一直在运动。就我而言，我建议不要太认真地对待“瞬时变化率”这个短语，而是将其视为“变化率的最佳常数近似值”的概念简写。

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