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关于乐律学的思考

当我们听到一个音觉得不在钢琴键之内的时候，千万不要断言人家的音不准。这句话一方面可以表明：我们对于音准的要求没有必要精确到完全符合对应的频率数，它实际上是有可以接受的允差范围的；另一方面，也许我们听到的音并不是服从于我们当代人已经习惯的十二平均律，而很可能服从于某个我们并不熟知的律制体系。其实这一思维确实打开了我的思路：很多时候我们不该被熟悉的常识所束缚，比如我们从小就听着十二平均律的曲子长大的，这也就形成了音准要服从十二平均律的惯性思维，对于其它律制上的音，例如：纯律、五度相生律、三分损益律甚至是印度的二十二律等，我们很容易就草率地认为人家的音不准。这种惯性思维固然不好，这是一种律制垄断。但这又不由得让我产生了好奇：既然世界上有那么多种纷繁复杂的律制体系，那为什么十二平均律会有如此大的流行程度？但不由得让我产生了对不同律制产生原因的探究。

首先要肯定的是，有很大部分的非十二平均律的律制是有着自己的民族文化背景的，例如课上提到过的印度二十二律，他们以“斯鲁蒂”来作为音分的代名词。文化背景是个很有力量感的东西，它会将文化底蕴、内涵甚至感觉融入到本土的乐律体系之中，这种特征是该文化独有的东西，只有使用该文化的本土律制去演奏对应的歌曲时才会有那种味道，这就是民族律制产生的原因与意义。除了这些民族律制之外，我们讨论最多的非平均律制便是五度相生律和纯律了。

纯律的产生动机很好理解：选取基准音泛音列内的音与基准音的音程比作为生成标准，因为这很符合人听觉的直觉。其中需要抓住的比例关系有两个：3:2（对应纯五度）以及5:4（对应纯律大三度），而其它比例(如4:3)均是可以由以上的两种比例生成，因此纯律体系内抓住2，3，5这三个素数即可。当时调研到这里我还想到这样一个问题：为什么泛音列中的音高与基准音之间的比例关系都是这种整数比，而非像十二平均律中非八度音程那样的无理数的比例？后来经过进一步调研发现在音乐声学中找到了答案：泛音列产生原理即为物理声学上驻波的原理，泛音与基音之间的正弦波周期正好呈整数比的关系，因此音高比为整数比，进而音程比也为整数比。不过纯律的缺陷也就在于此，由于使用的全是泛音列内的音，在构成和弦时演奏与泛音重合，听起来会显得干瘪，缺少丰富感。

接下来讨论一下五度相生律，这个律制来自古希腊时期的毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯将一根琴弦的一头固定在墙上，通过改变琴弦的长短，来探索音高的变化。他发现弦长比为2:1时可产生八度音，为3:2时可产生五度音，为4:3时可产生四度音。由此他觉得，这些简单的数字比能构成一个音阶所需要的所有音，于是提出了五度相生律：以中心C为基准，音程系数上生一直乘以3/2，得到G、D、A、E、B、F#、C#；下生一直乘以2/3，得到F、Bb、Eb、Ab、Db、Gb、Cb，如下图所示：

最后将这些音程系数通过一次或多次乘除2调整到同一八度内，经推导，其通项公式如下：

(n为整数，注意为负时的高斯函数可用性)

这样便得到了五度相生律音阶：

不过这样一个八度内会得到多于十二个音的音阶，可以发现，很多十二平均律所认为的等音在五度相生律中并不相等，例如Db≠C#、Eb≠D#、F≠E#、Gb≠F#、Ab≠G#、Bb≠A#等。这便是此律制的缺陷：它可以利用2和3这两个素数颠来倒去，无限相生下去，虽然一个八度可以被越分越细，但是永远回不到最初的起点。(为什么回不去需要严格数学证明，而不是穷举)

这一现象与我们中国古代的三分损益律不谋而合，而且我也经常在网上听到很多学者将五度相生律与三分损益律当成同一种东西来考虑，于是我有了这样一个疑问：五度相生律与三分损益律究竟是不是一回事？经过调研与数理演算，我有了以下的初步猜想：尽管《管子》对三分损益法的描述与毕达哥拉斯五度相生的方法是不同的，但三分损益律的音程系数都能落在五度相生律上，反之未必。根据三分损益法的描述，先下生后上生，蕤宾重上生(这里为了防止下生跑出一个八度，由于3/2 * 3/4 = 9/8 > 1，因此3/2这个跃迁算子要更强，所以为了弥补，后面时常要使用多个3/4来抵消3/2带来的增益；另外我觉得这个下生上生交替其实是一种被动触发行为，因为一旦出现两个连续的3/2必定会超出八度范围，连最小值1去连乘两个3/2就已经是2.25 > 2，更何况一个1到2之间的数去连成两个3/2了，因此连续的3/2是不可能的，它不得不利用3/4去阻隔连续3/2的出现，因此在后续的无限相生过程中，会出现连续的3/4跃迁，但永远不会出现连续的3/2跃迁)。若设基准音的音程系数为1，则三分损一则乘以3/2 (=1/(1-1/3))，三分益一则乘以3/4 (=1/(1+1/3))，如下动图所示：

从宫音(C，黄钟)经过四次生成，分别得到徵、商、羽、角，将它们按音高升序排列得到我国古代五声音阶，利用此方法经过第五次生成得到六声音阶，经过第六次生成得到七声音阶，经过第十一次生成得到黄钟十二律。我们不妨把由三分损益法得到的黄钟十二律与五度相生律放在同一表格：

由此可见黄钟十二律是五度相生律的真子集，如果十二个音凑齐后仍然不停止，按照三分损益法无限做下去逃不出3/2和3/4，即逃不出2，3这两个素数(其中4 = 2 × 2也可以被2生成)，那么它终究能将空挡填满，与五度相生律数值等价吗？

其实要证明两种律制等价与否，就在于证明两种律制的音程系数集合是否相等，但目前猜想的倾向是两种律制不等价，那么就是在证明两种律制的音程系数集合不相等，这会容易很多：证明集合A与B不相同需要找反例即可，比如在B集合内找一个元素，它并不存在于A集合中，就可以证明A≠B，目前把A集合看作三分损益律，B集合看作五度相生律；那么我们只需要找一个五度相生律的音程系数，而这个音程系数并不在三分损益律的任何音程系数中即可，根据前面黄钟十二律与五度相生律的对比表：

可见：4/3这个音程系数很有可能只存在于五度相生律中，三分损益律再怎么无限损益下去也落不到4/3，即我们不妨大胆猜想4/3不属于三分损益率，即三分损益律通项公式=4/3构成的方程无解，如果这个猜想被严格证明，那么即可严格证明三分损益律与五度相生律数值上不等价。五度相生律的通项公式很好推导，但是三分损益律的通项公式是什么呢？目前我这里只能通过计算机逻辑模拟，并没有算出数学解析式。也许得到通项公式后去严格证明其=4/3方程无解又会是个困难的数论问题，不知道是否有人在做此方面的工作？

我能往这个方向去猜想还是有实验基础的：用计算机分别得到三分损益11次、17次以及59次的音程系数，发现4/3均不在其中：

损益11次（黄钟十二律）

损益17次（与五度相生律表例的数量一致时）

可见4/3不在其中。

损益59次

由于表格过长我直接把是否存在的结果用计算机打出：“Not found!”，即4/3还是不在其中。因此目前只是根据计算机穷举法大致猜想这两种律制数值不等价。

现在我们回到五度相生律是否能够转回到原点这一问题：任何律制无论一个周期内用什么奇奇怪怪的划分，终究逃不过八度一个周期的音程比为2:1，但是周期内的划分算法如果设计得不合理，则会出现无限划分但绕不回来的情形，这种缺陷经常出现在整数比作为相生依据的律制中。

与其说这是律制的缺陷，不如说是有理数的缺陷。我们知道，在古希腊的时代，毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，即宇宙万物的量化都是由整数或整数比(有理数)来构成。直到毕达哥拉斯的学生希帕索斯在一次研究老师的勾股定理时发现了，才动摇了有理数的统治。毕达哥拉斯为了稳固住镇派根基“万物皆数”，最终将希帕索斯脚绑石头扔进了大海。的确，五度相生律被发明的时代，还没有无理数这一概念，因此音程系数被限制在整数比之内，正如五度相生律和三分损益律逃不出2和3这两个素数。纯律虽然是从泛音列角度出发，不过也殊途同归地被限制在2，3，5这三个素数之内。所以它们都逃不出转调不方便这一问题，于是为了修复这一缺陷，十二平均律便应运而生了。

正如三分损益律 “绕不回来”的问题：

（蓝色箭头表示三分损一，音程系数乘以3/2。红色箭头表示三分益一，音程系数乘以3/4），本图一圈相当于一个八度，五度相生是在上面画“十二芒星”，不过它无法闭合，永远回不到出发点，最后的那个豁口就是古代音差。而十二平均律是人为把音平均化，相当于把上面“十二芒星”每个顶点微调一下，把豁口粘上，所以才能变得闭合，形成五度圈，如下图所示：

经过“粘合”后的律制可以实现自由转调，这是一种具有普世价值的突破，正因为十二平均律转调方便这一特性，许多乐器按照如此律制去设计、制作、定音，便可以极大提升不同乐器合奏的可能性，这也促进了交响乐的发展。同时，统一的标准消除了很多冗余的细分，造就了更多等音，这也使记谱方式变得简便、统一，这就是为什么十二平均律会流行起来的原因。其实刚接触十二平均律理论的时候，我还有过这样的疑问：既然一个每个八度周期有12个等分，那么我们以每个等分的音作为基准音，以大小调的方式总共能产生 12 × 2 = 24 种调，可在如下的调性圆盘中：

我们却能够发现有26种调，这里面存在的三组等音就是导致调比预计多出来的原因，可能就是在转为十二平均律之前，该记谱法对应的律制中的这三组等音还不是等音，它们含义不同、音高不同和，代表的是不同的调。但是为了保留传统，在使用十二平均律后它们仍然没有被废弃，不知道这种解释是否合理？

然而这种“粘合”的过程势必会出现误差，那么这个误差是否是我们可以接受的？我们经常看到有些人耳朵很***，偏偏对十二平均律有极大的偏见，觉得经过“粘合”之前的律制才更好听。那我们就以黄钟十二律与十二平均律之间做比较，看看它们之间的差别有多大，多大的误差是我们可以接受的范围？如果能保证十二平均律的确是可以接受的范围，那么它既可以保持转调方便的优良传统，又能使被代替律制对应的乐器组合起来，岂不美哉！

我分别将黄钟十二律和十二平均律的音程系数分数形式、音程系数小数形式、音程值全音数全都打印了出来：