输入格式：

5 // 三角形行数，下面是三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 – 99。
要求输出最大和，不必给出具体路径。

思路

  • D(r,j)：第r行第j个数字（r，j从1开始算）
  • MaxSum(r,j)：从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和

问题：求MaxSum(1,1)

D(r,j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1,j+1)
对于N行的三角形：

if(r == N)
    MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
    MaxSum(r,j) = Max{ MaxSum(r+1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)

递归

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;

int D[MAX][MAX];
int n;

int MaxSum(int i, int j) {
    if(i == n)
        return D[i][j];
    int x = MaxSum(i+1,j);
    int y = MaxSum(i+1,j+1);
    return max(x,y) + D[i][j];
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            cin>>D[i][j];
    cout<< MaxSum(1,1) <<endl;
    return 0;
}

改进
每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。

记忆递归型动态规划

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;

int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];

int MaxSum(int i, int j) {
    if(maxSum[i][j] != -1)
        return maxSum[i][j];
    if(i == n)
        maxSum[i][j] = D[i][j];
    else {
        int x = MaxSum(i+1,j);
        int y = MaxSum(i+1,j+1);
        maxSum[i][j] = max(x,y) + D[i][j];
    }
    return maxSum[i][j];
}

int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++) {
            cin>>D[i][j];
            maxSum[i][j] = -1;
        }
    cout<< MaxSum(1,1) <<endl;
    return 0;
}
30
23 21
20 13 10
7 12 10 10
4 5 2 6 5

递推型动态规划

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;

int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];

int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            cin>>D[i][j];
    for(int i=1; i<=n; i++)
        maxSum[n][i] = D[n][i];
    for(int i=n-1; i>=1; i--)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];
    cout<<maxSum[1][1]<<endl;
}

空间优化动态规划
用D的第n行替代maxSum

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;

int D[MAX][MAX];
int n;
int *maxSum;

int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            cin>>D[i][j];
    maxSum = D[n];  // maxSum指向第n行
    for(int i=n-1; i>=1; i--)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            maxSum[j] = max(maxSum[j], maxSum[j+1]) + D[i][j];
    cout<<maxSum[1]<<endl;
    return 0;
}

北大的公开课真心不错，感觉比现在上的算法课好很多(●’◡’●)