聊一聊粗糙集(六)

本节我们将继续介绍粗糙集有关的概念。

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上节我们介绍了知识粒度的矩阵表示形式，本节将介绍基于知识粒度属性约简定义和算法。

基于粗糙特征选择算法亦称为属性约简，其旨在保持数据集分类能力不变的前提下，通过约简冗余属性，最后得到问题的决策或分类规则。

相关定义

设决策信息系统\(S=(U,A=C \bigcup D,V,f)\)，\(B \subseteq C\)，如果\(B\)为\(S\)的最小属性约简，则：

\[GP_{U}(D \mid B)=GP_{U}(D\mid C) \]

\[\forall a \in B,\quad GP_{U}(D \mid B -\{a\})\not= GP_{U}(D \mid B) \]

第一个式子保证了约简集\(B\)有着与全体条件属性集\(C\)相同的划分能力；而第二个条件保证了约简集\(B\)内没有冗余属性。

近似分类精度的定义如下：
设决策信息系统\(S=(U,A=C \bigcup D,V,f)\)，\(\forall X \subseteq U\)，\(R\)是一个等价关系，则集合\(X\)关于等价关系\(R\)的近似分类精度为：

\[\alpha_{R}(X)=\frac{|\underline{R}X|}{|\overline{R}X|} \]

其粗糙度为：

\[\rho_{R}(X)=1-\alpha_{R}(X) \]

近似分类质量的定义如下：
设决策信息系统\(S=(U,A=C \bigcup D,V,f)\)，\(\forall X \subseteq U\)，\(R\)是一个等价关系，则集合\(X\)关于等价关系\(R\)的近似分类质量为：

\[\gamma_{R}(X) =\frac{|\underline{R}X|}{|U|} \]

或者说
决策信息系统\(S=(U,A=C \bigcup D,V,f)\)，\(\forall X \subseteq U\)，\(R=\{X_{1},X_{2},...,X_{m}\}\)是论域\(U\)的一个划分，将\(R\)的上近似和下近似分别定义为：

\[\overline{R}X=\{\overline{R}X_{1},\overline{R}X_{2},...,\overline{R}X_{m} \} \]

\[\underline{R}X=\{\underline{R}X_{1},\underline{R}X_{2},...,\underline{R}X_{m} \} \]

则\(R\)的近似分类精度：

\[\alpha_{R}(X)=\frac{\sum^{m}_{i=1}|\underline{R}X_{i}|}{\sum_{i=1}^{m}|\overline{R}X_{i} |} \]

近似分类质量：

\[\gamma_{R}(X) =\frac{\sum_{i=1}^{m}|\underline{R}X_{i}|}{|U|} \]

特别地，若等价关系\(R\)是被决策属性集\(D\)划分的，\(U/D=\{X_{1},X_{2},...,X_{m} \}\)，\(\forall X \subseteq U\)，则\(D\)的近似分类精度为：

\[\alpha_{R}(D)=\frac{POS_{R}(D)} {\sum_{i=1}^{m}|\overline{R}X_{i} |} \]

近似分类质量：

\[\gamma_{R}(D) =\frac{POS_{R}(D)}{|U|} \]

对于这种情况，我们先看一个例子，若

\[U/D=\{X_1,X_2 \}=\{\{e_{1},e_{4},e_{5},e_{8}\},\{e_2,e_3,e_6,e_7 \} \} \]

考虑论域\(U\)对条件属性集\(C\)划分的等价关系\(R\)

\[U/C=\{\{e_1\},\{e_2\},\{e_3\},\{e_4\},\{e_5,e_7\},\{e_6,e_8\} \} \]

下近似：

\[\underline{R}X_1=\{e_1,e_4\} \]

\[\underline{R}X_2=\{e_2,e_3 \} \]

近似分类质量：

\[\gamma_{R}(D)=\frac{|\underline{R}X_1|+|\underline{R}X_2|}{|U|}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]

再来看之前的一个例子：
\(S=(U,A=C \bigcup D,V,f)\)是一个决策信息系统，考虑条件属性\(C\)对论域\(U\)划分的等价关系\(R\)，\(U/C=\{\{e_{3},e_{6} \},\{e_{2},e_{5} \},\{e_{1},e_{4} \} \}\)，集合\(X=\{e_{1},e_{2},e_{4}\}\)，显然\(X\)是一个粗糙集，则：

\[\underline{R}X=\{e_{1},e_{4}\} \quad \overline{R}X=\{e_{1},e_{2},e_{4},e_{5}\} \]

近似分类精度：

\[\alpha_{R}(X)=\frac{|\underline{R}X|}{|\overline{R}X|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]

粗糙度：

\[\rho_{R}(X)=1-\alpha_{R}(X)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \]

近似分类质量：

\[\gamma_{R}(X) = \frac{|\underline{R}X|}{|U|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

基于知识粒度的属性约简算法

在介绍完经典粗糙集模型一些基本的相关概念后，我们将给出粗糙集里面的一个经典算法，基于知识粒度非动态属性约简算法。

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算法：基于知识粒度的经典启发式属性约简算法

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输入：决策信息系统\(S=(U,A=C \bigcup D,V,f)\)
输出：论域\(U\)上的约简集\(RED_{U}\)

\(begin\)

\(\quad RED_{U} \leftarrow \varnothing\)

\(\quad for \quad 1\leq j \leq |C| \quad do\)

\(\quad \quad Calculate \quad Sig_{U}^{inner}(a_{j},C,D);\)

\(\quad \quad \quad if \quad Sig_{U}^{inner}(a_{j},C,D)>0 \quad then\)

\(\quad \quad \quad \quad RED_{U} \leftarrow (RED_{U} \bigcup {a_{j}});\)

\(\quad \quad \quad end\)

\(\quad \quad end\)

\(\quad Let \quad B \leftarrow RED_{U};\)

\(\quad while \quad GP_{U}(D \mid B) \neq GP_{U}(D \mid C) \quad do\)

\(\quad \quad for \quad each \quad a_{i}\in (C-B) \quad do\)

\(\quad \quad \quad Calculate \quad Sig_{U}^{outer}(a_{i},B,D);\)

\(\quad \quad \quad a_{0}=max\{Sig_{U}^{outer}(a_{i},B,D),a_{i} \in (C-B)\};\)

\(\quad \quad \quad B\leftarrow (B \bigcup \{a_{0} \});\)

\(\quad \quad end\)

\(\quad end\)

\(\quad for \quad each \quad a_{i} \in B \quad do\)

\(\quad \quad if \quad GP_{U}(D \mid (B-\{a_{i} \}))=GP_{U}(D \mid C) \quad then\)

\(\quad \quad \quad B \leftarrow (B-\{a_{i}\});\)

\(\quad \quad end\)

\(\quad end\)

\(\quad RED_{U} \leftarrow B;\)

\(\quad return \quad reduction \quad RED_{U}\)

\(end\)

这就是基于知识粒度非动态属性约简算法的流程了，算法的流程虽然较多，但关键点在于等价类的划分，这点解决后，它的实现就不难了。

那么粗糙集有关的内容就暂告一段落了，系列博客介绍的也只是冰山一角，这里面还有很多很多的学问呢，有兴趣的可以查阅更多资料和文献。

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本文参考了：

• 景运革. 基于知识粒度的动态属性约简算法研究[D].西南交通大学,2017.