聊一聊粗糙集(五)

本节我们将继续介绍粗糙集有关的概念。

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上节我们介绍了知识粒度的度量，本节将介绍知识粒度的矩阵表示形式。

我们先简单介绍矩阵的相关概念。

矩阵

先看矩阵的和，差。

矩阵的和：
若$A=(a_{ij})_{m \times n}$，$B=(b_{ij})_{m \times n}$是两个$m \times n$的矩阵，则两个矩阵的和$C=(c_{ij})_{m \times n}$为

$$C = A+B \quad \Longrightarrow \quad c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$$

$$=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ \end{bmatrix}$$

$$=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \\ \end{bmatrix}$$

类似的，两个矩阵的差：

$$C = A-B \quad \Longrightarrow \quad c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$$

$$= \begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \cdots & a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \cdots & a_{2n}-b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \cdots & a_{mn}-b_{mn} \\ \end{bmatrix}$$

矩阵的转置：

$$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}$$

则矩阵$A$的转置矩阵$A^T$为：

$$A^T= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}$$

最后来看矩阵的乘积：
若$A=(a_{ij})_{m \times n}$，$B=(b_{ij})_{n \times p}$是两个矩阵
则两个矩阵的乘积$A \times B =C=(c_{ij})_{m \times p}$ 为：

$$C = A \times B \quad \Longrightarrow \quad (c_{ij})_{m \times p}=(\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\cdot b_{kj})_{m \times p}$$

$$= \begin{bmatrix} \sum_{k=1}^{n} a_{1k}b_{k1} & \sum_{k=1}^{n}a_{1k}b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{1k}b_{kp} \\ \sum_{k=1}^{n} a_{2k}b_{k1} & \sum_{k=1}^{n}a_{2k}b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{2k}b_{kp} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{k1} & \sum_{k=1}^{n}a_{mk}b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{kp} \\ \end{bmatrix}$$

知识粒度的矩阵表现形式

我们依旧使用该表

$U$	$a$	$b$	$c$	$e$	$f$	$d$
1	0	1	1	1	0	1
2	1	1	0	1	0	1
3	1	0	0	0	1	0
4	1	1	0	1	0	1
5	1	0	0	0	1	0
6	0	1	1	1	1	0
7	0	1	1	1	1	0
8	1	0	0	1	0	1
9	1	0	0	1	0	0

等价关系矩阵的定义如下：
设$S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$是一个决策信息系统，论域$U=\{u_{1},u_{2},...,u_{n} \}$，$n$是论域内元素个数，$U/C=\{X_{1},X_{2},...,X_{m}\}$，$R_{C}$是论域$U$的等价关系。则等价关系矩阵$U_{U}^{R_{C}} = (m_{ij})_{n \times n}$定义如下：

$$m_{ij} =\begin{cases} 1 & (u_{i},u_{j}) \in R_{C} \\ 0 & (u_{i},u_{j}) \notin R_{C} \end{cases}$$

其中，${1 \leq i,j \leq n}$。

基于矩阵的知识粒度如下：
设$S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$是一个决策信息系统，$U_{U}^{R_{C}} = (m_{ij})_{n \times n}$是等价关系矩阵，条件属性$C$基于矩阵的知识粒度定义如下：

$$GP_{U}(C)=\frac{sum\left(M_{U}^{R_{C}}\right)}{|U|^{2}}=\overline{M_{U}^{R_{C}}}$$

其中，$sum\left(M_{U}^{R_{C}}\right)$是等价矩阵内$1$的个数总和，$\overline{M_{U}^{R_{C}}}$是矩阵内所有元素的均值。

依旧上表，我们可以计算$GP_{U}(C)$:

$$GP_{U}(C)=\overline{M_{U}^{R_{C}}}=\frac{1}{81}\times\operatorname{sum}(\left[\begin{array}{ccccccccc} {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {1} \end{array}\right])=\frac{17}{81}$$

这和我们在上节计算得到的结果是一致的。

类似的，相对知识粒度的定义如下：
若$S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$是一个决策信息系统，$U_{U}^{R_{C}}$，$U_{U}^{R_{C \bigcup D}}$是等价关系矩阵，则决策属性$D$关于条件属性$C$基于矩阵的相对知识粒度定义如下：

$$G P_{U}(D\mid C)=\overline{U_{U}^{R_{C}}}-\overline{U_{U}^{R_{C \bigcup D}}}$$

根据上表，我们可以计算$GP_{U}(D \mid C)$:

$$GP_{U}(D \mid C)=\overline{U_{U}^{R_{C}}}-\overline{U_{U}^{R_{C \bigcup D}}}$$

$$=\frac{1}{81}\times\operatorname{sum}(\left[\begin{array}{ccccccccc} {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {1} \end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccccccccc} {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right]) =\frac{2}{81}$$

这与我们之前计算的结果是一致的。

类似的，基于矩阵的内外部属性重要度的定义如下：
内部属性重要度:
若$S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$是一个决策信息系统，$B\subseteq C$，且$U_{U}^{R_{B}}$，$U_{U}^{R_{B-\{a\} }}$,$U_{U}^{R_{B \bigcup D}}$,$U_{U}^{R_{(B -\{a\}) \bigcup D}}$都是等价关系矩阵，$\forall a \in B$，则属性$a$关于条件属性$B$相对于决策属性集$D$的基于矩阵的相对知识粒度定义如下：

$$\operatorname{Sig}_{U}^{inner }(a, B, D)=GP_{U}(D \mid B-\{a\})-GP_{U}(D \mid B)$$

$$=\{ GP_{U}(B-\{a\})-GP_{U}((B-\{a\}) \bigcup D) \}-\{GP_{U}(B)-GP_{U}(B \bigcup D) \}$$

$$=\overline{M_{U}^{R_{B-\{a \}}}}-\overline{M_{U}^{R_{(B -\{a\}) \bigcup D}}}-\overline{M_{U}^{R_{B}}}+\overline{M_{U}^{R_{B \bigcup D}}}$$

外部属性重要度:
若$S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$是一个决策信息系统，$B\subseteq C$，且$U_{U}^{R_{B}}$，$U_{U}^{R_{B \bigcup D}}$,$U_{U}^{R_{B \bigcup \{a\} }}$,$U_{U}^{R_{(B \bigcup \{a\}) \bigcup D}}$都是等价关系矩阵，$\forall a \in (C-B)$，则属性$a$关于条件属性$B$相对于决策属性集$D$的基于矩阵的相对知识粒度定义如下：

$$\operatorname{Sig}_{U}^{outer }(a, B, D)=GP_{U}(D \mid B)-GP_{U}(D \mid B \bigcup \{a\})$$

$$=\{ GP_{U}(B)-GP_{U}(B\bigcup D)\} - \{ GP_{U}(B \bigcup \{a\})-GP_{U}((B\bigcup \{a\}) \bigcup D) \}$$

$$=\overline{M_{U}^{R_{B}}}-\overline{M_{U}^{R_{B \bigcup D}}}-\overline{M_{U}^{R_{B \bigcup \{a \} }}}+\overline{M_{U}^{R_{(B \bigcup \{a\}) \bigcup D}}}$$

参考上节的案例，如果使用矩阵表示的话，结果是一样的，但是基于矩阵的方式在面对大规模数据集是可能不是好的选择。

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本文参考了：

• 景运革. 基于知识粒度的动态属性约简算法研究[D].西南交通大学,2017.