本节我们继续更新粗糙集相关的内容。
本文与之前的博客一脉相承。
上近似和下近似
以之前病人病历为例,这里我们使用体温这个属性。
病人 |
体温 |
e1 |
正常 |
e2 |
高 |
e3 |
很高 |
e4 |
正常 |
e5 |
高 |
e6 |
很高 |
在这个信息系统中 S=(U,C),其中U为论域,C={c3},c3是体温这个属性。 |
|
那么, |
|
U/C={{e3,e6},{e2,e5},{e1,e4}}={X1,X2,X3}
可以看出体温这个属性被划分成了三类,很高,高和正常。
若给定一个集合X,X={e1,e2,e4},显然X是C的粗糙集,因为X不能被X1,X2,X3中的任何一个或者若干个组合构成。
先看上近似。
在U/C={X1,X2,X3}中,
{e3,e6}⋂X=∅⟹X1⋂X=∅
{e2,e5}⋂X={e2}⟹X2⋂X={e2}
{e1,e4}⋂X={e1,e4}⟹X3⋂X={e1,e4}
此时,称{e2,e5}和{e1,e4}为X关于C的上近似。
再看下近似。
在U/C={X1,X2,X3}中,
{e3,e6}⊈X⟹X1⊈X
{e2,e5}⊈X⟹X2⊈X
而
{e1,e4}⊆X⟹X3⊆X
此时,称{e1,e4}为X关于C的下近似。
给出上下近似的定义:
在一个决策信息系统中S=(U,A=C⋃D,V,f)中,R是一个等价关系,∀X⊆U,X关于R的上近似和下近似的定义分别如下:
¯¯¯¯RX=⋃{x∈U∣[x]R⊆X}
R––X=⋃{x∈U∣[x]R⋂X≠∅}
[x]B={y∣(x,y)∈RB}表示是由等价关系RB形成的等价类。
关于上近似和下近似的一些解释。
- 上近似则是将那些包含X的知识库中的集合求并得到的(包含X的最小可定义集)
- 下近似是在那些所有的包含于X的知识库中的集合中求并得到的(包含在X内的最大可定义集)
或者说
- 上近似是根据现有知识R,判断U中一定属于和可能属于X的对象所组成的集合。
- 根据现有知识R,判断U中所有肯定属于X的对象所组成的集合,即式中,表示等价关系R下包含关系x的等价类。
## 正域,负域与边界域
###### 紧接着上下近似的概念,正域,负域与边界域的定义如下:
论域
U被
X的上下近似集划分为正域
POSR(X),负域
NEGR(X)以及边界域
BNDR(X)三个互不相交的区域。
正域:
POSR(X)=R––X
负域:
NEGR(X)=U−¯¯¯¯RX
边界域:
BNDR(X)=¯¯¯¯RX−R––X
可以发现:
POSR(X)⋃NEGR(X)⋃BNDR(X)=U
我们还是以上面体温属性C为例。
X关于C的上近似为{e2,e5},{e1,e4},下近似为{e1,e4},所以
论域U被X的上下近似集划分为正域为:
POSC(X)=R––X={e1,e4}
负域为:
NEGR(X)=U−¯¯¯¯RX={e3,e6}
边界域:
BNDR(X)=¯¯¯¯RX−R––X={e2,e5}
用一张图来表示这个过程:

图中蓝色曲线为上近似。
实例
下表是一个决策信息系统。
U |
a |
b |
c |
e |
f |
d |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
4 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
6 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
其中论域U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},条件属性集C={a,b,c,f,e},决策属性集 D={d}。 |
|
|
|
|
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|
从上表中有:U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9},C={a,b,c,f,e},D={d}。
每个属性的值域都为{0,1}。
U/C={{1},{2,4},{3,5},{6,7},{8,9}}={U1,U2,U3,U4,U5}
注意,C是条件属性,未包括决策属性d。
假设:X={1,2,3,6,7}。
则:
上近似:
¯¯¯¯RX=U1⋃U2⋃U3⋃U4={1,2,4,3,5,6,7}
下近似:
R––X={1,6,7}
正域为:
POSC(X)=R––X={1,6,7}
负域为:
NEGC(X)=U−¯¯¯¯RX={8,9}
边界域:
BNDC(X)=¯¯¯¯RX−R––X={2,4,3,5}
本文内容暂告一段落,之后将继续更新。
本文参考了:
- 景运革. 基于知识粒度的动态属性约简算法研究[D].西南交通大学,2017.
- 苗夺谦,李国道《粗糙集理论,算法和应用》.
- 张文修《基于粗糙集的不确定决策》.
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