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聊一聊粗糙集(三)

本节我们继续更新粗糙集相关的内容。

本文与之前的博客一脉相承。

上近似和下近似

以之前病人病历为例，这里我们使用体温这个属性。

病人	体温
$e_{1}$	正常
$e_{2}$	高
$e_{3}$	很高
$e_{4}$	正常
$e_{5}$	高
$e_{6}$	很高
在这个信息系统中 $S=(U,C)$ ，其中 $U$ 为论域， $C=\{c_{3} \}$ ， $c_{3}$ 是体温这个属性。
那么，

U / C = {{e_{3}, e_{6}}, {e_{2}, e_{5}}, {e_{1}, e_{4}}} = {X_{1}, X_{2}, X_{3}}

$U/C=\{\{e_{3},e_{6} \},\{e_{2},e_{5} \},\{e_{1},e_{4} \} \}=\{X_{1},X_{2},X_{3}\}$

可以看出体温这个属性被划分成了三类，很高，高和正常。

若给定一个集合 $X$ ， $X=\{e_{1},e_{2},e_{4} \}$ ，显然 $X$ 是 $C$ 的粗糙集，因为 $X$ 不能被 $X_{1},X_{2},X_{3}$ 中的任何一个或者若干个组合构成。

先看上近似。
在 $U/C=\{X_{1},X_{2},X_{3} \}$ 中，

{e_{3}, e_{6}} ⋂ X = \emptyset ⟹ X_{1} ⋂ X = \emptyset

$\{e_{3},e_{6} \} \bigcap X =\emptyset \quad \implies \quad X_{1} \bigcap X = \emptyset$

{e_{2}, e_{5}} ⋂ X = {e_{2}} ⟹ X_{2} ⋂ X = {e_{2}}

$\{e_{2},e_{5} \} \bigcap X =\{e_{2} \} \quad \implies \quad X_{2} \bigcap X = \{e_{2}\}$

{e_{1}, e_{4}} ⋂ X = {e_{1}, e_{4}} ⟹ X_{3} ⋂ X = {e_{1}, e_{4}}

$\{e_{1},e_{4} \} \bigcap X =\{e_{1},e_{4}\} \quad \implies \quad X_{3} \bigcap X = \{e_{1},e_{4} \}$

此时，称 $\{e_{2},e_{5} \}$ 和 $\{e_{1},e_{4} \}$ 为 $X$ 关于 $C$ 的上近似。

再看下近似。
在 $U/C=\{X_{1},X_{2},X_{3} \}$ 中，

{e_{3}, e_{6}} ⊈ X ⟹ X_{1} ⊈ X

$\{e_{3},e_{6} \}\not\subseteq X \quad \implies \quad X_{1} \not\subseteq X$

{e_{2}, e_{5}} ⊈ X ⟹ X_{2} ⊈ X

$\{e_{2},e_{5} \}\not\subseteq X \quad \implies \quad X_{2} \not\subseteq X$

而

{e_{1}, e_{4}} \subseteq X ⟹ X_{3} \subseteq X

$\{e_{1},e_{4} \} \subseteq X \quad \implies \quad X_{3} \subseteq X$

此时，称 $\{e_{1},e_{4} \}$ 为 $X$ 关于 $C$ 的下近似。

给出上下近似的定义：

在一个决策信息系统中 $S=(U,A=C\bigcup D,V,f)$ 中， $R$ 是一个等价关系， $\forall X \subseteq U$ ， $X$ 关于 $R$ 的上近似和下近似的定义分别如下：

\bar{R} X = ⋃ {x \in U ∣ [x]_{R} \subseteq X}

$\overline{R}X=\bigcup \{x \in U \mid [x]_{R} \subseteq X\}$

\underline{R} X = ⋃ {x \in U ∣ [x]_{R} ⋂ X \neq \emptyset}

$\underline{R}X=\bigcup \{x \in U \mid [x]_{R} \bigcap X \neq \emptyset \}$

$[x]_{B}=\{y \mid (x,y) \in R_{B}\}$ 表示是由等价关系 $R_{B}$ 形成的等价类。

关于上近似和下近似的一些解释。

上近似则是将那些包含 $X$ 的知识库中的集合求并得到的(包含 $X$ 的最小可定义集)
下近似是在那些所有的包含于 $X$ 的知识库中的集合中求并得到的(包含在 $X$ 内的最大可定义集）

或者说

上近似是根据现有知识 $R$ ，判断 $U$ 中一定属于和可能属于 $X$ 的对象所组成的集合。
根据现有知识 $R$ ，判断 $U$ 中所有肯定属于 $X$ 的对象所组成的集合，即式中，表示等价关系 $R$ 下包含关系 $x$ 的等价类。

## 正域，负域与边界域 ###### 紧接着上下近似的概念，正域，负域与边界域的定义如下：论域

U

$U$ 被

X

$X$ 的上下近似集划分为正域

P O S_{R} (X)

$POS_{R}(X)$ ，负域

N E G_{R} (X)

$NEG_{R}(X)$ 以及边界域

B N D_{R} (X)

$BND_{R}(X)$ 三个互不相交的区域。正域：

P O S_{R} (X) = \underline{R} X

$POS_{R}(X)=\underline{R}X$

负域：

N E G_{R} (X) = U - \bar{R} X

$NEG_{R}(X)=U-\overline{R}X$

边界域：

B N D_{R} (X) = \bar{R} X - \underline{R} X

$BND_{R}(X)=\overline{R}X-\underline{R}X$

可以发现：

P O S_{R} (X) ⋃ N E G_{R} (X) ⋃ B N D_{R} (X) = U

$POS_{R}(X) \bigcup NEG_{R}(X) \bigcup BND_{R}(X) =U$

我们还是以上面体温属性 $C$ 为例。
$X$ 关于 $C$ 的上近似为 $\{e_{2},e_{5} \}$ ， $\{e_{1},e_{4} \}$ ，下近似为 $\{e_{1},e_{4} \}$ ，所以
论域 $U$ 被 $X$ 的上下近似集划分为正域为：

P O S_{C} (X) = \underline{R} X = {e_{1}, e_{4}}

$POS_{C}(X)=\underline{R}X=\{e_{1},e_{4}\}$

负域为：

N E G_{R} (X) = U - \bar{R} X = {e_{3}, e_{6}}

$NEG_{R}(X)=U-\overline{R}X =\{e_{3},e_{6} \}$

边界域：

B N D_{R} (X) = \bar{R} X - \underline{R} X = {e_{2}, e_{5}}

$BND_{R}(X)=\overline{R}X-\underline{R}X=\{e_{2},e_{5} \}$

用一张图来表示这个过程：

图中蓝色曲线为上近似。

实例

下表是一个决策信息系统。

$U$	$a$	$b$	$c$	$e$	$f$	$d$
1	0	1	1	1	0	1
2	1	1	0	1	0	1
3	1	0	0	0	1	0
4	1	1	0	1	0	1
5	1	0	0	0	1	0
6	0	1	1	1	1	0
7	0	1	1	1	1	0
8	1	0	0	1	0	1
9	1	0	0	1	0	0
其中论域 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$ ，条件属性集 $C=\{a,b,c,f,e \}$ ，决策属性集 $D=\{d\}$ 。