聊一聊粗糙集(二)

之前，我们简要地介绍了粗糙集，我将继续更新粗糙集相关的概念

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等价类与等价关系

首先，我们先入为主地了解下等价类的定义吧，以下定义来自维基百科。
在数学上，假设在一个集合\(X\)上定义一个等价关系（用\(\sim\)来表示），则\(X\)中的某个元素\(a\)的等价类就是\(X\)中等价于\(a\)的所有元素所形成的子集：

\[[a]=\{x\in X|x \sim a \} \]

还是举几个例子吧

如果说\(X\)是汽车的集合，\(\sim\)是汽车颜色相同的等价类，则一个特定等价类由所有的绿色汽车组成。\(X/ \sim\)自然被认为所有汽车颜色的集合

考虑到整数集合Z上的 “模2” 等价关系，\(x\sim y\)当且仅当\(x-y\)是偶数。这个关系精确地引发两个等价类：\([0]\)由所有的偶数组成，\([1]\)由所有的奇数组成。在这种关系下，\([7]\)，\([9]\)和\([1]\)都表示\(Z/\sim\)的同一个元素。

在简要了解等价类这个概念后，下面我们将给出粗糙集中的等价类和等价关系:
\(S=(U,A=C\cup D,V,f)\)是决策信息系统，\(\forall B\subseteq C\)，论域\(U\)的不可分辨关系被定义为：

\[R_B=\{(x,y)\in U\times U|f(x,a)=f(y,a),\forall a\in B \} \]

很显然，不可分辨关系是一种等价关系。它将论域U划分为\(U/R_{B}\)，\(U/R_{B}=\{E_{1},E_{2},...,E_{m}\}\)是由等价关系\(R_{B}\)形成的等价类集合。由等价关系\(R_{B}\)形成的等价类\([x]_{B}=\{y|(x,y)\in R_{B}\}\)是粗糙集理论中的基本知识粒。

我们还是以病人病历为例。

病人	头疼	肌肉疼	体温	流感
\(e_{1}\)	是	是	正常	否
\(e_{2}\)	是	是	高	是
\(e_{3}\)	是	是	很高	是
\(e_{4}\)	否	是	正常	否
\(e_{5}\)	否	否	高	否
\(e_{6}\)	否	是	很高	是
设论域\(U=\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6}\}\)，条件属性\(C=\{C_{1},C_{2},C_{3}\}\)，决策属性\(D=\{d\}\)。
\(C_{1}\)为头疼，\(C_{2}\)为肌肉疼，\(C_{3}\)为体温，有三个条件属性。

先来看头疼这个条件属性\(C_{1}\)，它的值域只有两个：“是”和“否”。

\[U/\{ C_{1} \}=\{\{e_{1},e_{2},e_{3} \},\{e_{4},e_{5},e_{6} \}\}=\{\{是 \},\{否 \}\} \]

\[\{e_{1},e_{2},e_{3}\}为“是” \]

\[\{e_{4},e_{5},e_{6}\}为“否” \]

\(C_{1}\)为论域\(U\)上一个知识

再看肌肉疼这个条件属性\(C_{2}\)，它的值域只有两个：“是”和“否”。

\[U /\{ C_{1} \}=\{\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{6} \},\{e_{5} \}\}=\{\{是 \},\{否 \}\} \]

\[\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{6} \}为“是” \]

\[\{e_{5} \}为“否” \]

\(C_{2}\)为论域\(U\)上一个知识

最后看看体温这个条件属性\(C_{3}\)，它的值域有三个：“正常”，“高”和“很高”。

\[U/\{C_{3} \}=\{\{e_{1},e_{4} \},\{e_{2},e_{5} \},\{e_{3}, e_{6} \} \}=\{\{正常 \},\{高 \},\{很高 \}\} \]

\[\{e_{1},e_{4} \}为“正常” \]

\[\{e_{2},e_{5} \}为“高” \]

\[\{e_{3},e_{6} \}为“很高” \]

\(C_{3}\)为论域\(U\)上一个知识

决策属性当然便是流感\(d\)，它的值域有两个：“是”和“否”。

\[U/d=\{X_{1},X_{2} \} \]

\[X_{1}=\{ e_{1},e_{4},e_{5} \}为“否” \]

\[X_{2}=\{ e_{2},e_{3},e_{6} \}为“是” \]

至此，等价类和等价类关系暂时介绍到这里了。

## 精确集和粗糙集 还是结合病人病历为例：

以体温\(C_{3}\)这个条件属性为例

\[U/C_{3}=\{ \{ e_{1},e_{4} \},\{e_{2},e_{5} \},\{e_{3},e_{6} \} \}=\{X_{1},X_{2},X_{3} \} \]

如果\(X=\{ e_{1},e_{2},e_{4},e_{5} \}\)。

那么\(X=X_{1}\cup X_{2}=\{e_{1},e_{4} \} \cup \{e_{2},e_{5} \}\)

\(X\)可以由已有的\(X_{1},X_{2},X_{3}\)中的若干个\(\{X_{1},X_{2}\}\)组成，因此\(X\)是\(C_{3}\)精确集

如果\(X=\{e_{1},e_{2},e_{4} \}\)

则\(X=\{e_{1},e_{4} \}\cup \{e_{2} \}\)

此时，\(X\)不能用\(X_{1}\)，\(X_{2}\)，\(X_{3}\)中的任何一个或者若干个组合构成，那么\(X\)是\(C_{3}\)粗糙集

------ 本文内容暂时到这里结束了，之后将会介绍上近似，下近似等等概念。

本文参考了：

• 景运革. 基于知识粒度的动态属性约简算法研究[D].西南交通大学,2017.