算法与数据结构——图

图

图的基本概念

图的定义

图G由顶点集V和边集E组成，记为G = (V, E)，其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合。若V={v1, v2, v3, ..., vn}，则用|V|表示图G中顶点的个数，E = {(u, v) | u∈V, v∈V}，用|E|表示图G中的边数。

图不可以为空，V一定是一个非空集，而E可以是一个空集。

有向图

若E是有向边（也称弧）的有限集合时，则图G为有向图。弧是顶点的有序对，记为<v, w>，其中v、w是顶点，v成为弧尾，w称为弧头，<v, w>称为从顶点v到顶点w的弧，也称v邻接w，或w邻接自v。

如上图所示，对于<A, E> E为弧尾，A为弧头

无向图

若E是无向边（简称边）的优先级和时，则图G为无向图。边是顶点的无序对，记为(v, w) 或 (w, v)，因为(v, w) = (w, v)，其中v、w是顶点。可以说顶点w和顶点v互为临界点。边(v, w)依附于顶点v和w，或者说边(v, w)和顶点v、w相关联。

简单图、多重图

一个图G如果满足：

1. 不存在重复边
2. 不存在顶点到自身的边

那么，称图G为简单图。

若图G中某两个顶点之间的边数大于1条，有允许顶点通过一条边与自身相连，则称图G为多重图。

顶点的度、入度、出度

对于无向图：顶点的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(V)
$$
\sum_{i=1}^{n}{TD(v_i)} = 2 |E|
$$
对于有向图：

入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(V)

出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(V)

顶点v的度等于其入度和出度之和，即TD(V) = ID(V) + OD(V)

在具有n个顶点、e条边的有向图中：
$$
\sum_{i=1}^{n}ID(v_i) = \sum_{i=1}^{n}OD(v_i) = e
$$

路径、路径长度和回环

顶点vp到顶点vq之间一条路径是指顶点序列。当然，关联的边也可以理解为路径的构成元素。

路径上边的数目称为路径长度。

第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环

图的存储及基本操作

邻接矩阵法

0表示无边

1表示有边

对于无向图来说，第i个结点的度就是第i行或第i列非零元素的个数。

对于有向图来说，第i个结点的出度是第i行非零元素的个数；第i个结点的入度是第i列所对应元素的个数。

#define MaxVertexNum 100
typedef struct {
    // 顶点表
    char Vex[MaxVertexNum];
    // 邻接矩阵，边表
    bool Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
    // 图的当前顶点数和边数/ 弧数
    int vexNum, arcNum;
}MGraph;

邻接矩阵法存储带权图

在对应位置写两个顶点之间对应的权值。如果两个顶点不存在边，则存放一个无穷大值。

#define MaxVertexNum 100
// 宏定义常量“无穷”
#define INFINITY 99999
// 顶点数据类型
typedef char VertextType;
// 带权图中边上权值的数据类型
typedef int EdgeType;

typedef struct {
    VertexType Vex[MaxVertexNum];
    EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
    int vexnum, arcnum;
}MGraph;

邻接矩阵法的性能分析

空间复杂度：
$$
O(|V|^2)
$$
只和定点数相关，和实际的边数无关。

适合用于稠密图。

无向图的邻接矩阵是对称矩阵，可以使用压缩存储（只存储上三角或下三角）的方法进行存储。

邻接矩阵法的性质

设图G的邻接矩阵为A，则A^n的元素An[i][j]等于由顶点i到顶点j的长度为n的路径的数目。

邻接表法

顺序 + 链式 存储方式

在无向图中，遍历某个顶点的边链表，边链表的个数就是其顶点的度。

而在有向图中：遍历某个顶点的边链表，边链表的个数就是其顶点的出度；如果需要求顶点的入度，需要遍历所有顶点，事件花费较高。

图的邻接表表示方式不唯一。

邻接表法性能分析

对于有向图，其空间复杂度为：
$$
O(|V|+|E|)
$$
对于无向图，其空间复杂度为：
$$
O(|V| + 2|E|)
$$

十字链表（理解）

存储有向图

邻接多重表（理解）

存储无向图

空间复杂度为 O(|V| + |E|)

图的基本操作

• Adjacent(G, x, y)——判断图G是否存在边<x, y>或(x, y)
• Neighbors(G, x)——列出图G中与结点x邻接的边
• InsertVertex(G, x)——在图G中插入顶点x
• DeleteVertex(G, x)——在图G中删除顶点x
  • AddEdge(G, x, yS)——若无向边(x, y)或有向边<x, y>不存在，则向图G中添加该边