bzoj1101: [POI2007]Zap（莫比乌斯反演）

原题链接

题目描述：FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

输入格式：第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为a,b,d。（1<=<=a,b<=50000）

输出格式：对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

输入样例：
2
4 5 2
6 4

输出样例：
3
2
//对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（6,3），（3,3）。

解析：挺裸的莫比乌斯反演题。
   设\(f(x)=gcd为x的(x,y)的对数\)
   设\(F(x)=gcd为x或x的倍数的(x,y)的对数\)
   那么显然\(F(x)=\sum_{x|d}f(d)\)
   所以\(f(x)=\sum_{x|d}μ(⌊\frac{d}{x}⌋)F(d)\)
   而\(F(x)=⌊\frac{n}{x}⌋⌊\frac{m}{x}⌋\)
   可得\(f(x)=\sum_{x|d}μ(⌊\frac{d}{x}⌋)⌊\frac{n}{d}⌋⌊\frac{m}{d}⌋\)
   枚举\(⌊\frac{d}{x}⌋\)，则\(f(x)=\sum_{i=1}^{min(⌊\frac{n}{x}⌋,⌊\frac{m}{x}⌋)}μ(i)⌊\frac{n}{ix}⌋⌊\frac{m}{ix}⌋\)
   这时就可以用整除分块计算了

代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn = 5e4 + 5;
int n, mu[maxn], primi[maxn], tot, mark[maxn], k, prim[maxn];
ll sum[maxn], ans;

int read(void) {
	char c; while (c = getchar(), c < '0' || c >'9'); int x = c - '0';
	while (c = getchar(), c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0'; return x;
}

void get_mu(void) { //筛mu函数 
	mu[1] = 1; mark[1] = 1;
	int lim = maxn - 5;
	  for (int i = 2; i <= lim; ++ i) {
	  	if (!mark[i]) mu[i] = -1, prim[++ tot] = i;
	  	for (int j = 1; j <= tot && prim[j] * i <= lim; ++ j) {
	  		mark[prim[j] * i] = 1;
	  		if (i % prim[j] == 0) break;
	  		  else mu[prim[j] * i] = -mu[i];
		  }
	  }	
	  for (int i = 1; i <= lim; ++ i) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i]; //维护mu函数的前缀和 
}

int main() {
	get_mu();
	n = read();
	  while (n --) {
	  	int a = read(), b = read(), d = read();
	  	a /= d; b /= d; ans = 0;
	  	int lim = min(a, b); //整数分块计算 
	  	  for (int l = 1, r; l <= lim; l = r + 1) {
	  		  r = min(a / (a / l), b / (b / l));
	  		  ans += (sum[r] - sum[l - 1]) * (a / l) *(b / l);
	        }
	    printf("%lld\n", ans);
	  }
	return 0;
}