欧拉函数

欧拉函数

定义

欧拉函数的定义为

Euler's totient function counts the positive integers up to a given integer n that are relatively prime to n.

即不超过\(n\)的，与\(n\)互质的，正整数的个数。

所以根据定义，\(\phi(1)=1\)。

计算公式

\[\varphi(n)=n \prod_{p | n}\left(1-\frac{1}{p}\right) \]

引理及其证明

\[\begin{array}{l}{\text { If } p \text { is prime and } k \geq 1 \text { , then }} \\ {\qquad \varphi\left(p^{k}\right)=p^{k-1}(p-1)=p^{k}\left(1-\frac{1}{p}\right)}\end{array} \]

证明：

因为\(p\)为质数，所以\(gcd(p^k,m)\)的取值为\(1, p, p^{2}, \ldots, p^{k}\)。而\(gcd(p^k,m)\)不互质的唯一情况是\(m\)为\(p\)的倍数。

小于等于\(p^k\)的\(p\)的倍数有\(p, 2 p, 3 p, \ldots, p^{k-1} p=p^{k}\)，一共\(p^{k-1}\)个。

所以小于等于\(p^k\)的，与\(p^k\)互质的数就有\(p^k-p^{k-1}\)个。

计算公式的证明

\(n=p_{1}^{k_{1}} \cdots p_{r}^{k_{r}}\)

\[\begin{aligned} \varphi(n) &=\varphi\left(p_{1}^{k_{1}}\right) \varphi\left(p_{2}^{k_{2}}\right) \cdots \varphi\left(p_{r}^{k_{r}}\right) \\ &=p_{1}^{k_{1}}\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right) p_{2}^{k_{2}}\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right) \\ &=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right) \\ &=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right) \end{aligned} \]

筛法

\(\sqrt n\)筛

就是质因子分解之后根据计算公式计算答案。

inline int getphi(int x) {
    int tmp = sqrt(x), res = x;
    for (int i = 1; i <= tmp; i++) {
        if (x % i == 0) {
            res -= res / i;
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    return x > 1 ? res - res / x : res;
}

埃氏筛

思路类似，如果一个\(i\)是合数就不管，如果是质数枚举其倍数，然后按照计算公式给这个数添加上这个质因子带来的贡献。

inline int getphi(int x){
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(phi[i])continue;//和数
        for(int j=i;j<=x;j+=i){
            if(!phi[j])phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
    }
    return 0;
}

线性筛

线性筛的本质是每个数只会被它的最小质因子筛。

那么对于\([2,n]\)中的每个数\(i\)，我们都枚举它们的最小质因子\(p\)。那么就要保证\(p\)小于等于\(i\)的最小质因子，才能保证乘上\(i\times p\)的最小质因子为\(p\)。

对于\(p\)小于\(i\)的最小质因子的情况，则\(i\)没有包含质因子\(p\)，那我们利用积性函数性质即可。

对于\(p\)等于\(i\)的最小质因子的情况，则\(i\)包含质因子\(p\)，那我们根据欧拉函数计算公式可得\(\phi(i\times p)=\phi(i)\times p\)

void get_phi() {
    phi[1]=1
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!pri[i])phi[i]=i-1,pri[++num]=i;
        for(int j=1;j<=num&&i*pri[j]<=n;j++) {
            pri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
            else phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
        }
    }
}