FWT-快速沃尔什变换

FWT有啥用啊

我们知道，FFT可以解决多项式的卷积，即

\[C_k=\sum_{i+j=k}A_i*B_j \]

如果将操作符换一下，换成集合运算符

比如

\[C_k=\sum_{i|j=k}A_i*B_j\\\C_k=\sum_{i\&j=k}A_i*B_j\\\C_k=\sum_{i\oplus j=k}A_i*B_j \]

这时就不能使用FFT了

但是FFT使我们产生了一种想法

我们能不能用一种类似FFT的方法，用另一个多项式来表示\(A,B\)，然后再对应相乘，最后再变换回来呢

答案是可以的，这就是FWT，即快速沃尔什变换

咋搞啊

我们以或运算举例：

我们按照定义，显然可以构造 \(FWT[A] = A' = \sum_{i=i|j}A_{j}\) ，来表示 \(j\) 满足二进制中 \(1\) 为 \(i\) 的子集。

那么显然会有 \(C_{i} = \sum_{i=j|k}A_{j}*B_{k} \Rightarrow FWT[C] = FWT[A] * FWT[B]\)

至于上面这个是怎么来的：

\[\begin{aligned} FWT[C][i]&=FWT[A][i]*FWT[B][i]\\ \sum_{j|i}C_j&=(\sum_{j|i}A_j)*(\sum_{j|i}B_j) \\ \sum_{j|i}C_j&=\sum_{j|i,k|i} A_jB_k\\ \sum_{j|i}C_j&=\sum_{j|i}\sum_{a|b=j}A_aB_b\\ C_j&=\sum_{a|b=j}A_aB_b \end{aligned} \]

这样就和上面我们想要的式子一样了。

一堆定义/结论

别问我怎么推的，我也不知道。

在这里有详细的证明。

通用性质

性质1：

\[FWT(A\pm B)=FWT(A)\pm FWT(B) \]

性质2：

定义\(\oplus\)为任意集合运算

\[FWT(A\oplus B)=FWT(A)*FWT(B)\ \ (对应相乘) \]

或运算

定义：

\[FWT(A)[i]=\sum_{j|i=i}A_j \]

正向运算：

\[FWT(A)=\begin{cases}(FWT(A_0),FWT(A_1)+FWT(A_0))& n>1\\\ A & n=0\end{cases} \]

逆向运算：

\[IFWT(A)=\begin{cases}(IFWT(A_0),IFWT(A_1)-IFWT(A_0))&n>1\\\ A&n=0\end{cases} \]

与运算

定义：

\[FWT(A)[i]=\sum_{i\&j=j}A_i \]

正向运算：

\[FWT(A)=\begin{cases}(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_1))&n>1\\\ A &n=0\end{cases} \]

逆向运算：

\[IFWT(A)=\begin{cases}(IFWT(A_0)-IFWT(A_1),IFWT(A_1))&n>1\\\ A&n=0\end{cases} \]

异或运算

定义：

令\(d(x)\)为\(x\)在二进制下拥有的1的数量

\[FWT(A)[i]=\sum_{d(j\&i)为偶数}A_j-\sum_{d(k\&i)为奇数}A_k \]

正向运算：

\[FWT(A)=\begin{cases}(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1))&n>0\\\ A&n=0\end{cases} \]

逆向运算：

\[IFWT(A)=\begin{cases}(\frac{IFWT(A_0+A_1)}{2},\frac{IFWT(A_0-A_1)}{2})&n>1\\\ A&n=0\end{cases} \]

板子

按位或
按位与
按位异或

//by Harry_bh
void FWT1(long long a[],int len)
{
	for(int mid=2;mid<=len;mid<<=1)
	for(int i=0;i<len;i+=mid)
	for(int j=i;j<i+(mid>>1);j++)a[j+(mid>>1)]+=a[j];
}
void IFWT1(long long a[],int len)
{
	for(int mid=2;mid<=len;mid<<=1)
	for(int i=0;i<len;i+=mid)
	for(int j=i;j<i+(mid>>1);j++)a[j+(mid>>1)]-=a[j];
}
void FWT2(long long a[],int len)
{
	for(int mid=2;mid<=len;mid<<=1)
	for(int i=0;i<len;i+=mid)
	for(int j=i;j<i+(mid>>1);j++)a[j]+=a[j+(mid>>1)];
}
void IFWT2(long long a[],int len)
{
	for(int mid=2;mid<=len;mid<<=1)
	for(int i=0;i<len;i+=mid)
	for(int j=i;j<i+(mid>>1);j++)a[j]-=a[j+(mid>>1)];
}
void FWT3(long long a[],int len)
{
	for(int mid=2;mid<=len;mid<<=1)
	for(int i=0;i<len;i+=mid)
	for(int j=i;j<i+(mid>>1);j++)
	{
		long long x=a[j],y=a[j+(mid>>1)];
		a[j]=x+y,a[j+(mid>>1)]=x-y;
	}
}
inline void IFWT3(long long a[],int len)
{
	for(int mid=2;mid<=len;mid<<=1)
	for(int i=0;i<len;i+=mid)
	for(int j=i;j<i+(mid>>1);j++)
	{
		long long x=a[j],y=a[j+(mid>>1)];
		a[j]=(x+y)>>1,a[j+(mid>>1)]=(x-y)>>1;
	}
}