卡特兰数
卡特兰数
卡特兰数的意义
卡特兰数有一个很重要的意义就是：
\(C_n\)表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。
通项公式
卡特兰数有两个通项公式，第一个是这样的：
\[C_{n}=\frac{1}{n+1}\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {n}\end{array}\right)=\frac{(2 n) !}{(n+1) ! n !}
\]
第二个是这样的：
\[\displaystyle C_n=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n+1}\quad \operatorname{for} n\ge1
\]
第一个公式就是把第二个公式拆开。
卡特兰数通项公式的证明
我们考虑证明第二个公式。证明的方式有很多，均和卡特兰数的性质有关，证明方法之间也可以互相转换。所以这里介绍一种最普通的证明方法。
根据定义，合法的路径不能越过对角线。那么我们考虑利用总方案数\(C_{2n}^n\)减去不合法的方案数。
这里的黄色线和绿色线连接而成的路径代表一条不合法的路径，我们把路径第一次超越对角线的点（点L）到终点（点A）的路径沿粉色线条（对角线向上平移1个单位得到）对称。得到了蓝色的路径。显然，这里的黄色路径和蓝色路径是对应的。
而之所以选择“向上平移1个单位”的意义就是在任何情况下接触这条线就会变成不合法路径。
容易证明，所有不合法的路径和所有从原点到A'点的路径都是一一对应的。所以不合法的路径条数就是从原点到A'的路径条数\(C_{2n}^{n-1}\)
证明如下：
因为这个关系是可逆的（通过操作后的路径能得出操作前的路径），所以显然所有不合法的路径和所有从原点到A'点的路径都是一一对应的。
这样就得出了前面提到的卡特兰数第二个通项公式：
\[C_{n}=\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {n}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {n+1}\end{array}\right) \quad \text { for } n \geq 1
\]
应用
组合数学中有非常多的组合结构可以用卡塔兰数来计数。
- \(C_n\)表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words: XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY。（这个性质在ZROI1151用到了）
- 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，\(C_n\)表示所有包含n组括号的合法运算式的个数。
- \(C_n\)表示有n个节点组成不同构的二叉树方案数。下图中，n等于3，圆形表示节点，月牙形表示什么都没有。（不同构二叉树是指：对于两颗二叉树每个节点，他们的左儿子和右儿子完全相等）
- \(C_n\)表示有2n+1个节点组成不同构"合并果子树"（full binary tree）的方案数。下图中，n等于3，圆形表示内部节点，月牙形表示外部节点。本质同上。
- \(C_n\)表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。
- \(C_n\)表示集合\(\{1,...,n\}\)依次入栈后合法的出栈顺序方案数。
参考资料
