数学基础

数学基础

筛法

埃氏筛

复杂度\(O(n\log\log n)\)

[过水已隐藏]

线性筛

bool flag[maxn];
int prime[maxn];
void init() {
    flag[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++) {
        if(!flag[i])prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=maxn;j++) {
            flag[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}

线性筛可以用于所有的积性函数。

真正的精华在于if(i%prime[j]==0)break;这句话

线性筛每一个元素只能被其最小质因子筛一次。可以证明，如果i%prime[j]==0，那么\([prime[j+1],prime[tot]]\)都不是\([prime[j+1]*i,prime[tot]*i]\)的最小质因子。那么就直接``break```。

证明：

当i%prime[j]==0，那么\(i\)可以写成\(prime[j]*k\)。所以对于下一个被筛的数\(prime[j+1]*i\)，可以把它化成\(prime[j]*k*prime[j+1]\)。

但请注意，根据线性筛的定义，每一个元素只能被其最小质因子筛一次。所以\(prime[j+1]*i\)这个数不应该被\(prime[j+1]\)筛，而是应该被\(prime[j]\)筛。后面的质数也同理。

最大公约数

更相减损

\(gcd(a,b)=gcd(a-b,b)\)

证明：咕咕咕

欧几里得

只需要在更相减损的基础上把减法优化成取模即可：

\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)

裴蜀定理和exgcd（扩展欧几里得）

首先，有个神奇的东西叫裴蜀等式/裴蜀定理。

这里有一个不定方程：\(ax+by=m\)。

裴蜀定理就是如果上面这个不定方程有解当且仅当\(gcd(a,b)|m\)。且当这个不定方程有解时，一定有无数多组解。

证明：（咕咕咕）

对于方程：\(ax+by=gcd(a,b)\)，我们可以用exgcd算法找到这个式子的一组解，然后就能就能推出\(ax+by=m\)的解。

而\(ax+by=gcd(a,b)\)可以通过递归构造解来解决：

\[a \bmod b=a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor b \\假设存在x',y'使得x'b+y'(a \bmod b)=d \\则x'b+y'(a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor b)=d \\把上面这个式子化成ay'+b(x'-y'\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor) \\然后我们可以从这一层推出上一层的解x=y',y=(x'-y'\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor) \]

特别的，当g欧几里得算法递归到最低一层时，是这个样子的：\(gcd(c,d),d=0\)

那么对于这种情况我们就可直接得出当前这一层对应的不定方程\(cx''+dy''=gcd(c,d)=c\)的解：\(x''=1,y''=0\)然后就可以倒推出上一层的解。

当我们知道一组特解\(x0,y0\)之后，我们可以推出这个方程的通解：\(x=x0+\frac {b}{d}*k,y=y0-\frac {a}{d}*k\)其中\(d=gcd(a,b)\)。 至于这个式子是怎么来的，我们可以把式子变成\(ax+by+\frac{ab}{d}-\frac{ab}{d}=d\)然后提一下公因式就好了。另外，为什么ab要除d而不是其他数字是因为\(d=gcd(a,b)\)。

至此，我们只求出了\(ax+by=gcd(a,b)\)的通解。

我们只需要在两边乘上\(\frac {m}{gcd(a,b)}\)即可，因为这里不变的是系数（x0,y0均乘上这个式子，\(a\)和\(b\)不变），所以依旧可以用前面的方法求出特解。

如果遇到求出最小的正整数\(x\)，我们可以设$p=\frac{b}{d} $，而我们需要的最小正整数x就是:

\((x0\bmod p+p)\bmod p\)

代码(引自KSKUN——欧几里得算法和扩展欧几里得算法)：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if(b == 0) {
        x = 1; // 设置b=0时的特殊解 
        y = 0;
        return a;
    }
    int ans = exgcd(b, a % b, x, y);
    int t = x; // 将x2, y2换算成x1, y1
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return ans;
}

线性同余方程

形如\(ax \equiv c\pmod b\)的式子我们称之为一元线性同余方程。

至于这个式子的求解，我们可以先把它化成\(ax+by=c\)的形式，其中\(y<0\)。就可以按照不定方程的做法做了。

欧拉函数

欧拉函数的性质

性质1-欧拉定理和扩展欧拉定理

欧拉定理：

当\(gcd(a,p)=1\)时，

\[a^{\phi{p}}\equiv1 \pmod p \]

扩展欧拉定理：

\[a^b\equiv \begin{cases} a^{b\%\phi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\\ a^b~~~~~~~~~~~~~~~~~~gcd(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\ a^{b\%\phi(p)+\phi(p)}~~~~gcd(a,p)\neq1,b\geq\phi(p) \end{cases}~~~~~~~(mod~p) \]

性质2-积性函数

\(\text{when gcd(a,b)=1},\phi(a) \times \phi(b)=\phi (ab)\)

性质3-欧拉函数特有性质

1. \(\text {when }p\mid n,\phi(np)=\phi(n)*p\)

   证明：

   令\(\prod _{p_i\mid np, \space p_i\text { is prime}} (1-\frac{1}{p_i})=A\)

   \(\phi(np)=np*A,\phi (n)=n*A\)

   显然，\(\phi(np)=\phi(n)*p\)

   得证

2. 当\(p\)为\(n\)的一个质因数，\(if\ \ p^2|n\ \ then\ \ \varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})*p\ \ else\ \ \varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})*\varphi(p)\)

   由上一个性质和积性函数性质，很容易可以证明

欧拉函数的求解

咕咕咕

先贴个\(O(\sqrt n)\)的求欧拉函数板子吧。

代码：

inline int getphi(int x) {
    int tmp = sqrt(x), res = x;
    for (int i = 1; i <= tmp; i++) {
        if (x % i == 0) {
            res -= res / i;
            while (x % i == 0) x /= i;
		}
	}
    return x > 1 ? res - res / x : res;
}

当然，我们也可以用埃氏筛的思路来筛\([1,n]\)的欧拉函数。

代码：

inline int getphi(int x){
    for(int i=2;i<=x;i++){
      	if(phi[i])continue;
        for(int j=i;j<=x;j+=i){
            if(!phi[j])phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
    }
    return 0;
}

等比数列

求和

\(\sum _{i=1}^n a_i\)称为等比级数，记为\(S_i\)。

求和公式\(S_n=\frac{a_1q^n-a_1}{q-1}\)其中\(q=\frac{a_n}{a_{n-1}}\)。

证明：咕咕咕

逆元(inverse element)

组合数学

排列与组合基础

排列数

从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m\) （ \(m\leq n\) ， \(m\) 与 \(n\) 均为自然数，下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个排列；从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) ( \(m\leq n\) ) 个元素的所有排列的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的排列数，用符号 \(\mathrm A_n^m\) （或者是 \(\mathrm P_n^m\) ）表示。

排列的计算公式如下：

\[\mathrm A_n^m = n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1) = \frac{n!}{(n - m)!} \]

\(n!\) 代表 \(n\) 的阶乘，即 \(6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6\) 。

公式可以这样理解： \(n\) 个人选 \(m\) 个来排队 ( \(m \le n\) )。第一个位置可以选 \(n\) 个，第二位置可以选 \(n-1\) 个，以此类推，第 \(m\) 个（最后一个）可以选 \(n-m+1\) 个，得：

\[\mathrm A_n^m = n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1) = \frac{n!}{(n - m)!} \]

全排列： \(n\) 个人全部来排队，队长为 \(n\) 。第一个位置可以选 \(n\) 个，第二位置可以选 \(n-1\) 个，以此类推得：

\[\mathrm A_n^n = n(n-1)(n-2) \cdots 3 × 2 × 1 = n! \]

全排列是排列数的一个特殊情况。

组合数

从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m\) ( \(m\leq n\) ) 个元素组成一个集合，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个组合；从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) ( \(m\leq n\) ) 个元素的所有组合的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的组合数。用符号 \(\mathrm C_n^m\) 来表示。

组合数计算公式

\[\mathrm C_n^m = \frac{\mathrm A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n - m)!} \]

如何理解上述公式？我们考虑 \(n\) 个人 \(m\) ( \(m \le n\) ) 个出来，不排队，不在乎顺序 \(C_n^m\) 。如果在乎排列那么就是 \(A_n^m\) ，如果不在乎那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样选出的来的 \(m\) 个人，他们还要“全排”得 \(A_n^m\) ，所以得：

\[\mathrm C_n^m \times m! = \mathrm A_n^m\\ \mathrm C_n^m = \frac{\mathrm A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]

组合数也常用 \(\displaystyle \binom{n}{m}\) 表示，读作「 \(n\) 选 \(m\) 」，即 \(\displaystyle \mathrm C_n^m=\binom{n}{m}\) 。实际上，后者表意清晰明了，美观简洁，因此现在数学界普遍采用 \(\displaystyle \binom{n}{m}\) 的记号而非 \(\mathrm C_n^m\) 。

组合数也被称为「二项式系数」，下文二项式定理将会阐述其中的联系。

特别地，规定当 \(m>n\) 时， \(\mathrm A_n^m=\mathrm C_n^m=0\) 。

插板法

插板法一般用于求解将\(n\)个相同球放入\(r\)个不相同盒子的方案数。

例子

现在有10个球，要放进3个盒子里
●●●●●●●●●●
隔2个板子，把10个球被隔开成3个部分
●|●|●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●、●|●●●●|●●●●●、●|●●●●●|●●●●、●|●●●●●●|●●●、......
如此类推，10个球放进3个盒子的方法总数为\({\binom {10-1}{3-1}}={\binom {9}{2}}=36\)

n个球放进k个盒子的方法总数为\({\binom {n-1}{k-1}}\)

问题等价于求\(x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n\)的可行解数，其中\(x_{1},x_{2},...,x_{k}\)为正整数。

空盒子推广

现在有10个球，要放进3个盒子里，并允许空盒子。考虑10+3个球的情况：

●|●|●●●●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●●●●、●|●●●●|●●●●●●●●、●|●●●●●|●●●●●●●、......

每个盒子的球都被拿走一个，得到一种情况，如此类推：

||●●●●●●●●●●、|●|●●●●●●●●●、|●●|●●●●●●●●、|●●●|●●●●●●●、|●●●●|●●●●●●、......

n个球放进k个盒子的方法总数（允许空盒子），等同于n+k个球放进k个盒子的方法总数（不允许空盒子），即\({\binom {n+k-1}{k-1}}\)

问题等价于求\(x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n\)的可行解数，其中\(x_{1},x_{2},...,x_{k}\)为非负整数。

\({\binom {n+k-1}{k-1}}\)也是\((a_{1}+a_{2}+...+a_{k})^{n}\)展开式的项数\(\sum _{{n_{1}+n_{2}+...+n_{k}=n}}1\)

魔改插板法

如果我们需要求解将\(n\)个不相同球放入\(r\)个相同盒子的方案数。

费马平方和定理

费马平方和定理的表述是：奇素数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1。证明

底和顶

我们可以用这个这个技巧完成向下取整/向上取整的转换：

\[\begin{array}{l}{x \geq n \Leftrightarrow \lfloor x \rfloor \geq n} \\ {x>n \Leftrightarrow\lceil x\rceil> n} \\ {x \leq n \Leftrightarrow\lceil x\rceil \leq n} \\ {x<n \Leftrightarrow\lfloor x\rfloor< n}\end{array} \]

一些trick

• \([1,n!]\)中有多少个数能被\(p\)整除，可以直接用\(\sum _{i=1} \left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor\)来求解。
• \(\sum _{i=1}^n i^2=\frac {n*(n+1)*(2n+1)/6}{6}\)
• \(\text{when } p \text{ is prime},a^b \bmod p=a^{b \bmod p-1}\bmod p\)（使用欧拉定理推导）
• 如果要求解\(\left \lfloor \frac{a}{d} \right \rfloor\)其中d每次变化1，那么显然可以数论分块，当\(l=d\)，那么\(r=\frac{a}{\frac{a}{d}}\)。可以证明一共有\(\sqrt {n}\)种取值。

矩阵乘法

对于两个矩阵\(A\)和\(B\)相乘，得到的矩阵\(C\)的列数与\(A\)相等，行数与\(B\)相等。同时要求\(A\)的行数和\(B\)的列数相等。

如果令\(A的行数=B的列数=n\)那么\(C_{i,j}=\sum_{k=1}^{n} A_{k,j}*B_{i,k}\)。

卡特兰数

卡特兰数我在另外一篇博客有比较详细的讲解，这里就只放最基本的通项公式。

卡特兰数有两个通项公式，第一个是这样的：

\[C_{n}=\frac{1}{n+1}\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {n}\end{array}\right)=\frac{(2 n) !}{(n+1) ! n !} \]

第二个是这样的：

\[C_{n}=\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {n}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {n+1}\end{array}\right) \quad \text { for } n \geq 1 \]

斯特林数

第一类斯特林数（Stirling Number）

设有多项式 \(x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)\) ，它的展开式形如 \(s_nx^n - s_{n-1}x^{n-1}+s_{n-2}x^{n-2}-\cdots\) 。

不考虑各项系数的符号，将 \(x^r\) 的系数的绝对值记做 \(s(n, r)\) ，称为第一类 Stirling 数。

\(s(n, r)\) 也是把 \(n\) 个不同的球排成 \(r\) 个非空循环排列的方法数。

关于第一类斯特林数的性质可以阅读 Stirling Number of the First Kind 。

递推形式

\[s(n,r) = (n-1)s(n-1,r)+s(n-1,r-1),\ n > r \geq 1 \]

考虑最后一个球，它可以单独构成一个非空循环排列，也可以插入到前面的某一个球的一侧。

若单独放，则有 \(s(n-1,r-1)\) 种放法；若放在某个球的一侧，则有 \((n-1)s(n-1,r)\) 种放法。

第二类斯特林数（Stirling Number）

把 \(n\) 个不同的球放到 \(r\) 个相同的盒子里，假设没有空盒，则放球方案数记做 \(S(n, r)\) ，称为第二类 Stirling 数。

关于第二类斯特林数的性质可以阅读 Stirling Number of the Second Kind 。

递推形式

\[S(n,r) = r S(n-1,r) + S(n-1,r-1),\ n > r \geq 1 \]

考虑最后一个球，若它单独放一个盒子，有 \(S(n-1,r-1)\) 种放法；若是和前面的某一个球放在同一个盒子里，则有 \(r S(n-1,r)\) 种放法。

参考资料

斯特林数

隔板法

排列组合