[算法模板]整体二分

[算法模板]整体二分

引子

很多题都可以用二分解决。但是如果我们对每个查询都直接二分，可能会收获一个 TLE 。这时候我们就会用到整体二分。整体二分的主体思路就是把多个查询一起解决。（所以这是一个离线算法）

所谓整体二分，需要数据结构题满足一下性质：

1. 询问的答案具有可二分性

2. 修改对判定答案的贡献互相独立，修改之间互不影响效果

3. 修改如果对判定答案有贡献，则贡献为一确定的与判定标准无关的值

4. 贡献满足交换律，结合律，具有可加性

5. 题目允许离线算法

——许昊然《浅谈数据结构题几个非经典解法》

思路

定义\([l,r]\)为答案的值域，\([L,R]\)为答案的定义域。（也就是说这个答案是针对区间\([L,R]\)的）

• 我们首先把所有操作按顺序存入一个结构体中。然后开始分治。
• 在每一层分治中，利用数据结构（一般是树状数组）统计当前查询的答案和mid之间的关系。
• 根据查询出来的关系将所有查询分为q1和q2（小于等于mid和大于mid）
• 将q1和q2重新组成新的查询序列q，分治。
• 当\(l=r\)时，找到答案，记录答案返回即可。

代码

例题：ZOJ2112

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn (int)(7e4+1000)
#define inf (int)(1e9+1000)
using namespace std;
struct node{
	int val,x,y,k,pos,ty;
}q[maxn],q1[maxn],q2[maxn];
int n,m,a[maxn],t,cnt,c[maxn],ans[maxn];
void add(int pos,int x){
	for(;pos<=n;pos+=pos&-pos){
		c[pos]+=x;
	}
	return;
}
int query(int pos){
	int anstot=0;
	for(;pos>=1;pos-=pos&-pos){
		anstot+=c[pos];
	}
	return anstot;
}
void solve(int l,int r,int L,int R){
	if(l>r||L>R)return;
	int cnt1=0,cnt2=0,mid=(l+r)>>1;
	if(l==r){
		for(int i=L;i<=R;i++){
			if(q[i].ty){ans[q[i].pos]=l;}
		}
		return;
	}
	for(int i=L;i<=R;i++){//遍历所有询问
		if(q[i].ty){//为查询操作
			int tmp=query(q[i].y)-query(q[i].x-1);//小于等于mid，在[x,y]区间内的元素个数
			if(tmp>=q[i].k){//mid过大
				q1[++cnt1]=q[i];
			}
			else{
				q[i].k-=tmp;q2[++cnt2]=q[i];
			}
		}
		else{
			if(q[i].val<=mid){add(q[i].pos,q[i].k);q1[++cnt1]=q[i];}
			else q2[++cnt2]=q[i];
		}

	}
		for(int i=1;i<=cnt1;i++){if(!q1[i].ty)add(q1[i].pos,-q1[i].k);}
		for(int i=1;i<=cnt1;i++){q[L+i-1]=q1[i];}
		for(int i=1;i<=cnt2;i++){q[L+i-1+cnt1]=q2[i];}
		solve(l,mid,L,L+cnt1-1);solve(mid+1,r,L+cnt1,R);
}
void solve1(){
	int cnt=0,cntans=0,pos,x;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);q[++cnt]=(node){a[i],0,0,1,i,0};
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r,k;char s[5];scanf("%s",s);
		if(s[0]=='Q'){
			scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);q[++cnt]=(node){0,l,r,k,++cntans,1};
		}
		else{
			scanf("%d%d",&pos,&x);q[++cnt]=(node){a[pos],0,0,-1,pos,0};q[++cnt]=(node){a[pos]=x,0,0,1,pos,0};
		}
	}
	solve(-inf,inf,1,cnt);
	for(int i=1;i<=cntans;i++){
		printf("%d\n",ans[i]);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		solve1();
	}

	return 0;
}