[BZ4923][Lydsy1706月赛]K小值查询
K小值查询
题面
维护一个长度为n的正整数序列a_1,a_2,...,a_n，支持以下两种操作：
1 k，将序列a从小到大排序，输出a_k的值。
2 k，将所有严格大于k的数a_i减去k。
Input
第一行包含两个正整数n,m(1<=n,m<=100000)，分别表示序列的长度和操作的个数。
第二行包含n个正整数a_1,a_2,...,a_n(1<=a_i<=10^9)，分别表示序列中的每个元素。
接下来m行，每行两个正整数op(1<=op<=2),k，若op=1，则1<=k<=n；若op=2，则1<=k<=10^9；依次描述每个操作。
Output
输出若干行，对于每个询问输出一行一个整数，即第k小的值。
Sample Input
4 5
1 5 6 12
2 5
1 1
1 2
1 3
1 4
Sample Output
1
1
5
7
思路
乍一看是一道平衡树上的区间修改。然而发现操作1是排名操作。显然，区间修改的splay是以编号作为关键字维护的，无法排名。那我们就思考如何用权值关键字的splay解决问题。
我们能发现：所有严格大于k的节点减去k之后相对大小都不会改变。而一颗子平衡树是按照内部元素大小关系排序的。所以我们推出：对于所有节点权值都严格大于k的子树，全部减k后树的形状不会改变。
我们可以先把所有点根据这个特性分成三个区间：\((-inf,k],(k,2k],(2k,+inf)\)。我们容易发现，每次操作后两个区间所有数都会减去k，操作后第二个区间和第一个区间会合并。而第三个区间一部分会成为新的2区间，一部分会留在3区间。
我们考虑修改操作，先把k的后继的前驱（注意，这个点不是k，因为k可能不在树里）转到root，再把2k的后继转到k的右儿子。然后把2k这个节点的左子树从主树上拆下来，则得到代表区间\((k,2k]\)的子树。然后把这些节点拆散，暴力的把每个节点的val减去k，然后再一个一个暴力插入。因为所有数在区间2最多存在一次，所以这一步复杂度为\(O(n \space log\space n)\)。第三个区间则将2k节点，打个tag即可。
查询操作还是常规的查询操作，只是每次递归到一个点后先执行Push_Down操作，即把tag下推。
注意事项
代码实现请注意：
- 删除任意一个非根节点之后，一定要更新他所有祖先的信息。
- 在向下遍历到一个新的节点/对子节点进行操作时，尽量随手Push_Down。（反正splay常数已经够大了QAQ）
- splay之前，请从根节点到splay点路径上的所有点Push_Down。（因为tag在旋转时会乱掉，而与size不同，tag无法在操作后用Push_Up操作从子节点还原父节点的tag
代码
/**************************************************************
Problem: 4923
User: GavinZheng
Language: C++
Result: Accepted
Time:9612 ms
Memory:5236 kb
****************************************************************/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define inf (ll)(1e18+1000)
#define maxn (int)(1e5+1000)
using namespace std;
int idx,n,m,root,beh;
ll ma[maxn],val[maxn];
int tag[maxn],size[maxn],cnt[maxn],fa[maxn],son[maxn][2];
void push_down(int x){
if(!x)return;
if(son[x][0]){
val[son[x][0]]+=tag[x];
tag[son[x][0]]+=tag[x];
ma[son[x][0]]+=tag[x];
}
if(son[x][1]){
val[son[x][1]]+=tag[x];
tag[son[x][1]]+=tag[x];
ma[son[x][1]]+=tag[x];
}
tag[x]=0;
return;
}
void Down(int x){
if(!x)return;
Down(fa[x]);
push_down(x);
}
void push_up(int x){
size[x]=cnt[x];ma[x]=val[x];
if(son[x][0]){
size[x]+=size[son[x][0]];
ma[x]=max(ma[x],ma[son[x][0]]);
}
if(son[x][1]){
size[x]+=size[son[x][1]];
ma[x]=max(ma[x],ma[son[x][1]]);
}
return;
}
void rotate(int x){
int y=fa[x],z=fa[y],o=(son[y][1]==x);
son[y][o]=son[x][o^1];
fa[son[x][o^1]]=y;
son[x][o^1]=y;
fa[y]=x;
son[z][son[z][1]==y]=x;
fa[x]=z;
push_up(y);
push_up(x);
return;
}
void splay(int x,int v=0){//If x's father is v,stop rotating.
if(!x)return;
Down(x);
for(int y;(fa[x]&&fa[x]!=v);rotate(x)){
y=fa[x];
if(fa[y]==v)continue;
rotate((son[fa[y]][0]==y)==(son[fa[x]][0]==x)?y:x);
}
if(!v)root=x;
}
void insert(int x,ll a,int cntx=1,int idxx=0){
int y=0;
while(x&&a!=val[x]){
push_down(x);
y=x;
x=son[x][a>val[x]];
}
if(x){
cnt[x]+=cntx;splay(x);
}
else{
x=(idxx?idxx:++idx);
val[x]=a;
fa[x]=y;
son[y][a>val[y]]=x;
cnt[x]=cntx;
tag[x]=0;
son[x][0]=son[x][1]=0;
push_up(x);splay(x);
}
return;
}
int kth(int x,int k){
push_down(x);
if(size[son[x][0]]>=k) return kth(son[x][0],k);
if(size[son[x][0]]+cnt[x]>=k) return x;
else return kth(son[x][1],k-size[son[x][0]]-cnt[x]);
}
void suc(int x,int a){
while(x){
push_down(x);
if(val[x]>a){
beh=x;
x=son[x][0];
}
else{
x=son[x][1];
}
}
return;
}
void reinsert(int x,int k){
if(!x)return;
push_down(x);
if(son[x][0])reinsert(son[x][0],k);
if(son[x][1])reinsert(son[x][1],k);
insert(root,val[x]-k,cnt[x],x);
return;
}
void change(int k){
suc(root,2*k);
int k2_mark=beh;
suc(root,k);
int k_mark=beh;
splay(k2_mark);
val[root]-=k;val[son[root][1]]-=k;ma[son[root][1]]-=k;tag[son[root][1]]-=k;
push_down(son[root][1]);
push_up(root);
splay(k_mark);
splay(kth(root,size[son[k_mark][0]]));//put the previous of k on the root_position
//if k presense in the tree,put k instead.
splay(k2_mark,root);
push_down(root);push_down(son[root][1]);
int head=son[son[root][1]][0];son[son[root][1]][0]=0;fa[head]=0;
push_up(son[root][1]);push_up(root);reinsert(head,k);
}
int main(){
//freopen("in","r",stdin);
scanf("%d%d",&n,&m);
insert(root,inf);insert(root,-inf);
for(int i=1;i<=n;i++){
int a;scanf("%d",&a);insert(root,a);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int type,num;scanf("%d%d",&type,&num);
if(type==1) printf("%lld\n",val[kth(root,num+1)]);
else change(num);
}
}
