算法刷题 Day 24 | 回溯的理论基础 & 77. 组合

今日内容：

理论基础
77. 组合

详细布置

理论基础

其实在讲解二叉树的时候，就给大家介绍过回溯，这次正式开启回溯算法，大家可以先看视频，对回溯算法有一个整体的了解。

题目链接/文章讲解：https://programmercarl.com/%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E7%AE%97%E6%B3%95%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80.html

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1cy4y167mM

77. 组合

对着在回溯算法理论基础给出的代码模板，来做本题组合问题，大家就会发现写回溯算法套路。

在回溯算法解决实际问题的过程中，大家会有各种疑问，先看视频介绍，基本可以解决大家的疑惑。

本题关于剪枝操作是大家要理解的重点，因为后面很多回溯算法解决的题目，都是这个剪枝套路。

题目链接/文章讲解：https://programmercarl.com/0077.%E7%BB%84%E5%90%88.html

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1ti4y1L7cv

剪枝操作：https://www.bilibili.com/video/BV1wi4y157er

Tips：回溯和递归是一体两面的，要记住它的使用场景：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

在代码中，遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

这么说有点抽象，如图所示：

77.组合4

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {

接下来看一下优化过程如下：

已经选择的元素个数：path.size();
还需要的元素个数为: k - path.size();
在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3，目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。

所以优化之后的for循环是：

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置

我的题解：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> temp;
    void backtracking(int n, int k, int begin){
        if(temp.size() == k){
            result.push_back(temp);
            return;
        }

        // 这里进行了剪枝操作
        for(int i = begin;i <= n - (k - temp.size()) + 1;i++){
            temp.push_back(i);
            backtracking(n,k,i+1);
            temp.pop_back();
        }
        return;
    }
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};