「学习笔记」四边形不等式

规定

本文出现的一切代数符号均代指非负整数。

定义

2.0 四边形不等式

设 \(w(x,y)\) 为一关于 \(x,y\) 的二元函数，若 \(\forall a\le b\le c\le d,w(a,d)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,d)\)，则称其满足四边形不等式

2.1 包含单调

若 \(\forall a\le b\le c\le d,w(a,d)\ge w(b,c)\)，则称 \(w(x,y)\) 满足包含单调

2.2 决策单调性

对于状态转移方程 \(f_i=\min\limits_{j<i}\left\{f_j+w(j,i)\right\}\)，令 \(p_i\) 为 \(f_i\) 的最优决策点，若 \(\forall i<j,p_i\le p_j\)，则称 \(f_i\) 满足决策单调性。

对于状态转移方程 \(f_{i,j}=\begin{cases}\min\limits_{i\le k<j}\left\{f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j)\right\}&i<j\\0&i=j\end{cases}\)，令 \(p_{i,j}\) 为$ f_{i,j}$ 的最优决策点，若 \(p_{i,j-1}\le p_{i,j}\le p_{i+1,j}\)，则称 \(f_{i,j}\) 满足决策单调性。

定理

定理 3.1

\(\forall a<b,w(a,b+1)+w(a+1,b)\ge w(a,b)+w(a+1,b+1)\) 是 \(w\) 满足四边形不等式的充要条件。

证明：

必要性的证明只需将 \(a<b\) 改写成 \(a\le a+1\le b\le b+1\) 即可；

接下来证充分性，假设 \(\forall a+k<c\)，有

\[w(a,c+1)+w(a+k,c)\ge w(a,c)+w(a+k,c+1) \]

由题设可知

\[\begin{aligned}w(a+k,c+1)+w(a+k+1,c)&\ge w(a+k,c)+w(a+k+1,c+1)\end{aligned} \]

两式相加再整理得

\[w(a,c+1)+w(a+k+1,c)\ge w(a,c)+w(a+k+1,c+1) \]

由归纳可知，\(\forall a\le b\le c\)，\(w(a,c+1)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,c+1)\)

同理可证，\(\forall a\le b\le c\le d,w(a,d)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,d)\)

\[\color{green}{Q.E.D.} \]

定理 3.2

对于状态转移方程 \(f_i=\min\limits_{j<i}\left\{f_j+w(j,i)\right\}\)，若 \(w(j,i)\) 满足四边形不等式，则 \(f_i\) 满足决策单调性。

证明：

设 \(f_i\) 的最优决策点为 \(p_i\)，则 \(\forall k<p_i,f_k+w(k,i)\ge \displaystyle f_{p_i}+w(p_i,i)\)

又由 \(\forall i'>i,w(k,i')+w(p_i,i)\ge w(k,i)+w(p_i,i')\)

所以 \(f_k+w(k,i')\ge f_{p_i}+w(p_i,i')\)

即证对于 \(f_{i'}\) 的决策，\(k\) 不可能优于 \(p_i\)，故 \(f_i\) 满足决策单调性。

\[\color{green}{Q.E.D.} \]

定理 3.3

对于状态转移方程 \(f_{i,j}=\begin{cases}\min\limits_{i\le k<j}\left\{f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j)\right\}&i<j\\0&i=j\end{cases}\)，若 \(w(i,j)\) 满足四边形不等式与包含单调，则 \(f_{i,j}\) 满足四边形不等式。

证明：

当 \(i+1=j\) 时，\(f_{i,j+1}+f_{i+1,j}=f_{i,i+2}+f_{j,j}=f_{i,i+2}\)

若 \(f_{i,i+2}\) 的最优决策点为 \(i\)，则

\[\begin{aligned}f_{i,j+1}+f_{i+1,j}&=f_{i,i}+f_{i+1,i+2}+w(i,i+2)\\&=f_{i+1,i+2}+w(i,i+2)\\&\ge f_{i+1,i+2}+w(i,i+1)\\&=f_{i+1,j+1}+f_{i,j}\end{aligned} \]

若 \(f_{i,i+2}\) 的最优决策点为 \(i+1\)，则

\[\begin{aligned}f_{i,j+1}+f_{i+1,j}&=f_{i,i+1}+f_{i+2,i+2}+w(i,i+2)\\&=f_{i,i+1}+w(i,i+2)\\&\ge f_{i,i+1}+w(i+1,i+2)\\&=f_{i,j}+f_{i+1,j+1}\end{aligned} \]

综上，\(\forall j-i=1,f_{i,j+1}+f_{i+1,j}\ge f_{i,j}+f_{i+1,j+1}\)

接下来用数学归纳法，假设 \(\forall j-i<k,f_{i,j+1}+f_{i+1,j}\ge f_{i,j}+f_{i+1,j+1}\)

令 \(j'=i+k\)，设 \(f_{i,j'+1}\) 和 \(f_{i+1,j'}\) 的最优决策点分别为 \(x,y\)，不妨令 \(x\le y\)，则

\[f_{i,j'+1}+f_{i+1,j'}=f_{i,x}+f_{x+1,j'+1}+w(i,j'+1)+f_{i+1,y}+f_{y+1,j'}+w(i+1,j') \]

再由

\[\begin{aligned}f_{i,j'}+f_{i+1,j'+1}&\le f_{i,x}+f_{x+1,j'}+w(i,j')+f_{i+1,y}+f_{y+1,j'+1}+w(i+1,j'+1)\\w(i,j+1)+w(i+1,j)&\ge w(i,j)+w(i+1,j+1)\end{aligned} \]

整理得

\[f_{i,j'+1}+f_{i+1,j'}\ge f_{i,j'}+f_{i+1,j'+1} \]

即证 \(\forall i<j,f_{i,j+1}+f_{i+1,j}\ge f_{i,j}+f_{i+1,j+1}\)，故 \(f_{i,j}\) 满足四边形不等式。

\[\color{green}{Q.E.D.} \]

3.4

对于状态转移方程 \(f_{i,j}=\begin{cases}\min\limits_{i\le k<j}\left\{f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j)\right\}&i<j\\0&i=j\end{cases}\)，若 \(f_{i,j}\) 满足四边形不等式，则 \(f_{i,j}\) 满足决策单调性.

设 \(s_{i,j}\) 为 \(f_{i,j}\) 的最优决策点，为方便描述，记 \(p=s_{i,j}\)，则 \(\forall i<k\le p,f_{i,p}+f_{i+1,k}\ge f_{i,k}+f_{i+1,p}\)

考虑到 \(p\) 的最优性

\[f_{i,p}+f_{p+1,j}+w(i,j)\le f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j) \]

整理得

\[f_{i+1,p}+f_{p+1,j}+w(i,j)\le f_{i+1,k}+f_{k+1,j}+w(i,j) \]

这个不等式说明，对于 \(f_{i+1,j}\)的决策，\(k\) 不可能优于 \(p\)，即 \(s_{i+1,j}\ge s_{i,j}\),\(s_{i,j-1}\le s_{i,j}\) 同理可证。

\[\color{green}{ Q.E.D.} \]

关于实现

未完待续......