二分图匹配 — 霍尔定理

二分图匹配 — 霍尔定理

霍尔定理

一张左右部点分别为 \(V_1,V_2\) 的二分图存在完美匹配,当且仅当:

对任意 \(S\subseteq V_1\),有 \(|S|\le |M(S)|\),其中 \(M(S)\) 为所有与 \(S\) 中点有边相连的点集。

不失完备性的,我们默认二分图的左部点个数不大于右部点个数。

证明

首先,必要性显然,否则必然不可能是完美匹配,那么考虑证明充分性,而充分性等价于:

一张满足霍尔定理的二分图 \(V_1,V_2\) 中,不存在任何左部点集中的点不在最大匹配中。

我们考虑反证,即如果二分图 \(V_1,V_2\) 满足霍尔定理,且存在一点 \(u\in V_1\) 不在最大匹配中,则:

首先,由霍尔定理,这个点有至少一条出边,我们找到该出边的端点 \(v\)

此时,如果 \(v\) 不在最大匹配中,则将 \(u\leftrightarrow v\) 加入匹配会使匹配大小变大,这与最大匹配的前提矛盾;

\(v\) 一定在最大匹配中,我们找到与其匹配的点 \(u_2\)

又由霍尔定理,我们有 \(|M(\left\{ u,u_2 \right\})|\ge|\left\{ u,u_2 \right\}|\),则我们可以再次顺着新边找到一个新点 \(v_2\)

我们对 \(v_2\) 进行与 \(v\) 类似的分类讨论,最后要么得出矛盾,要么能继续找到一个新点 \(v_3\)

我们再对 \(v_3\) 进行分类讨论,如此往复,由于二分图点数有限,总有一次我们会推出矛盾,

而此时我们也就证明了,不存在满足霍尔定理且不存在完美匹配的二分图,即我们要的充分性。

其实还有更严谨的叙述,简要纲领如下。

考虑存在左部点集 \(S\subseteq V_1\),满足:

  1. \(|S|\le|M(S)|\)
  2. \(S\)\(M(S)\) 中分别存在一点 \(u,v\) 不在最大匹配中,

否则最大匹配就是完美匹配,或者二分图不满足霍尔定理。

考虑证明,此时的匹配不是最大匹配,因为我们一定能构造出一条以 \(u\) 为起点,\(v\) 为终点的增广路。

posted @ 2022-03-01 23:29  GaryH  阅读(537)  评论(0编辑  收藏  举报