CF1051F 题解

CF1051F 题解

分享一个来自sjx巨佬的线性做法，如果有什么错误之处敬请指出。

题意就不说了，我直接讲做法。

首先建出原图的最小生成树，那么余下的非树边只有之多 $21$ 条，

我们将所有非树边的左右端点记为关键点，并将这些关键点两两间的 $LCA$ 也标记成关键点。

我们发现，由 $LCA$ 产生的新关键点小于关键点数，因为：

我们将原关键点按 $dfs$ 序升序排序，再将所有排序后相邻的关键点对的 $LCA$ 标记成关键点，

容易证明，这样标记后，任意两个关键点的 $LCA$ 都已经是关键点了。

这些关键点只有不超过 $83$ 个，我们可以预处理原图中所有关键点间任意两个的最短路，

具体来说，我们建一个只与关键点有关的新图 $G'$，

对任意两个关键点 $u,v$ ，我们往 $G'$ 中加一条 $u\rightarrow v$ 的边，权为两点在生成在树上的距离。

然后，对于所有连接两个关键点的非树边，我们将这些边也加进 $G'$ 中。

我们在这张图中计算出任意两点间的最短路，

就等价于计算出了原图中任意两个关键点间的最短路。

为方便接下来的叙述，我们称关键点为黑点，非关键点为白点。

此时，树上的黑点将所有白点划分成了若干个连通块，

那么对于一组询问 $(u,v)$，

我们只需要找到所有与 $u$ 所在的连通块接壤的黑点 $p1,p2,\cdots,p_i$，

再找到所有与 $v$ 所在的连通块接壤的黑点 $q1,q2,\cdots,q_j$，那么这组询问的答案就是：

$ans=\min\limits_{x\in[1,i],y\in[1,j]}dist(p_x,q_y)$，其中 $dist(u,v)$ 代表关键点对 $u,v$ 间的最短路。

当然，如果点 $u$ 或点 $v$ 本身就是黑点的话，与 $u$ 或 $v$ 接壤的黑点就只有自己。

看上去现在的复杂度仍然不低，但实际上我们可以证明 $i,j\in[0,2]$ 以保证复杂度。

我们需要证明的，实际上是：

对于任意一个白点构成的连通块 $T$，与其接壤的黑点不超过两个。

那么，我们在这个连通块中随意挑一个点 $s$，沿着 $s$ 的祖先链往上走，可以走到至多一个黑点；

同时，点 $s$ 的子树中不可能存在大于等于两个黑点，否则这个连通块中必然存在至少一个黑点，

因为两个黑点的 $LCA$ 也是黑点，这与连通块中全是白点的条件矛盾，

故与一个连通块接壤的黑点不超过两个。

那么，对于每组询问，我们暴力的计算 $ans$，最后将 $ans$ 和 $(u,v)$ 在树上的距离取 $\min$ 即可。

我们用树剖查询 $LCA$，用你知道的任意一种快速求最短路方式求关键点间的最短路，

而求图中的最小生成树，

我们可以用基数排序或者tarjan发明的随机数据期望线性最小生成树算法发现，

实际上我们可以用图中的任意一棵生成树代替，都不会影响答案的正确性。

而求图中的任意一棵生成树，我们直接 $dfs$ 即可。

这样复杂度就是 $O((m-n)^2\log(m-n)+n+m)$ 或 $O((m-n)^3+n+m)$，

取决于你的全源最短路使用的是立方级别的算法还是平方带 $\log$ 级别的算法。

当然，在 $m-n$ 很小时，这个算法的表现是线性的。

所以理论上是不是可以出一道边数减点数为300，询问数为1e7的的加强版？

代码可以在 $CF$ 上看sjx的，ta的用户名叫 $songjiaxing$（让我们由衷地感谢这位巨佬）。