LeetCode-188. 买卖股票的最佳时机 IV
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给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔交易。
注意： 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入： prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出： 6
解释： 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入： prices = [1,2,3,4,5]
输出： 4
解释： 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入： prices = [7,6,4,3,1]
输出： 0
解释： 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入： prices = [1]
输出： 0
提示：
1 <= prices.length <= 1050 <= prices[i] <= 105
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题解分析
动态规划
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本题属于LeetCode【股票问题】的系列题之一。其实这种题目有一个通用的解题模板。详情参考：一个方法团灭 LEETCODE 股票买卖问题。
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我们定义的动态方程如下：dp[i][k][0 or 1]；0 <= i <= n - 1, 1 <= k <= K；n 为天数，K 为交易数(每次交易指的是买入和卖出两个操作在一起则算一次交易)的上限，0 和 1 代表是否持有股票。而我们想求的最终答案是 dp[n - 1][K][0]，即最后一天，最多允许 K 次交易，最多获得多少利润。读者可能问为什么不是 dp[n - 1][K][1]？因为 dp[n - 1][K][1] 代表到最后一天手上还持有股票，dp[n - 1][K][0] 表示最后一天手上的股票已经卖出去了，很显然后者得到的利润一定大于前者。
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股票系列问题的动态转移方程如下：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]) max( 今天选择保持前一天的状态, 今天选择出售股票 ) dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]) max( 今天选择保持前一天的状态, 今天选择购入股票 )这里着重提醒一下，时刻牢记「状态」的定义，k 的定义并不是「已进行的交易次数」，而是「最大交易次数的上限限制」。如果确定今天进行一次交易，且要保证截至今天最大交易次数上限为 k，那么昨天的最大交易次数上限必须是 k - 1。
修正：以前我以为在 sell 的时候给 k 减小 1 和在 buy 的时候给 k 减小 1 是等效的，但细心的读者向我提出质疑，经过深入思考我发现前者确实是错误的，因为交易是从 buy 开始，如果 buy 的选择不改变交易次数 k 的约束，会出现交易次数超出限制的的错误。 -
股票系列问题的边界处理如下：
dp[-1][...][0] = dp[...][0][0] = 0 dp[-1][...][1] = dp[...][0][1] = -infinity
dp[-1][...][0] = 0
解释：因为 i 是从 0 开始的，所以 i = -1 意味着还没有开始，这时候的利润当然是 0。dp[-1][...][1] = -infinity
解释：还没开始的时候，是不可能持有股票的。
因为我们的算法要求一个最大值，所以初始值设为一个最小值，方便取最大值。dp[...][0][0] = 0
解释：因为 k 是从 1 开始的，所以 k = 0 意味着根本不允许交易，这时候利润当然是 0。dp[...][0][1] = -infinity
解释：不允许交易的情况下，是不可能持有股票的。dp[-1][...][0] = 0
解释：因为 i 是从 0 开始的，所以 i = -1 意味着还没有开始，这时候的利润当然是 0。dp[-1][...][1] = -infinity
解释：还没开始的时候，是不可能持有股票的。
因为我们的算法要求一个最大值，所以初始值设为一个最小值，方便取最大值。dp[...][0][0] = 0
解释：因为 k 是从 1 开始的，所以 k = 0 意味着根本不允许交易，这时候利润当然是 0。dp[...][0][1] = -infinity
解释：不允许交易的情况下，是不可能持有股票的。
因为我们的算法要求一个最大值，所以初始值设为一个最小值，方便取最大值。因为我们的算法要求一个最大值，所以初始值设为一个最小值，方便取最大值。
- 本题的动态转移方程如下：
原始的状态转移方程，没有可化简的地方 dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]) dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
int n = prices.length, K=k;
int[][][] dp = new int[n+1][K+1][2];
int mins = Integer.MIN_VALUE;
for(k=0; k<=K; k++){
dp[0][k][0] = 0;
dp[0][k][1] = mins;
}
for(int i=0; i<=n; i++){
dp[i][0][0] = 0;
dp[i][0][1] = mins;
}
for(int i=1; i<=n; i++){
for(k=1; k<=K; k++){
dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i-1]);
dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i-1]);
}
}
return dp[n][K][0];
}
}
