LeetCode-518. 零钱兑换 II

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518. 零钱兑换 II

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给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入： amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出： 4
解释： 有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入： amount = 3, coins = [2]
输出： 0
解释： 只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入： amount = 10, coins = [10]
输出： 1

提示：

• 1 <= coins.length <= 300
• 1 <= coins[i] <= 5000
• coins 中的所有值 互不相同
• 0 <= amount <= 5000

题解分析

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解法一：动态规划-完全背包问题

1. 本题与背包问题极其类似，特别是看到【所有】等关键词，以及题目中提到的【假设每一种面额的硬币有无限个】更可以确信使用完全背包解决。
2. 我们假设dp[i][j]表示用前i种硬币能拼凑出j金额的组合数，那么什么情况可以推进状态的变化呢？
   • 第一种情况是我们只选前i-1种硬币就能拼凑出j金额。
   • 第二种情况是现在只能拼凑出j-coins[i-1]金额，但是也使用了i种硬币。这种情况比较难以理解，我们可以这样想，因为每种硬币的个数都是无限的，即使我们之前使用了第i种硬币使硬币金额总数达到了j-coins[i-1]，我们还是可以重复使用第i种硬币来使结果金额达到j。
3. 综上，我们可以得出动态转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j - coins[i]];
4. 需要注意的是，以上的状态转移方程只有在j>=coins[i]时才适用，当j<coins[i]时，dp[i][j] = dp[i-1][j]，即后一种情况不用考虑。

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int n = coins.length;
        // dp[i][j]表示用前i种硬币能拼凑出j金额的组合数。
        // dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j - coins[i]];
        int[][] dp = new int[n+1][amount+1];
        for(int i=0; i <= n; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=0; j<= amount; j++){
                if(j >= coins[i-1]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j - coins[i-1]];
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[n][amount];
    }
}

解法二：动态规划-压缩数组

1. 只要碰到动态规划，我们就应该想想能否使用压缩数组进行空间的优化，一般来说都是可以的。
2. 与传统的压缩数组类似，本题的完全背包变形问题也可以应用压缩数组优化手段。
3. 需要注意的是，在初始化时需要将dp[0]设置为1表示，对于金额0，即使不使用任何硬币也能凑到，所以组合数为1。

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int n = coins.length;
        // dp[i][j]表示用前i种硬币能拼凑出j金额的组合数。
        // dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j - coins[i]];
        int[] dp = new int[amount+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=0; j<= amount; j++){
                if(j >= coins[i-1]){
                    dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i-1]];
                }
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

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