LeetCode-470. 用 Rand7() 实现 Rand10()

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470. 用 Rand7() 实现 Rand10()

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给定方法 rand7 可生成 [1,7] 范围内的均匀随机整数，试写一个方法 rand10 生成 [1,10] 范围内的均匀随机整数。

你只能调用 rand7() 且不能调用其他方法。请不要使用系统的 Math.random() 方法。

每个测试用例将有一个内部参数 n，即你实现的函数 rand10() 在测试时将被调用的次数。请注意，这不是传递给 rand10() 的参数。

示例 1:

输入: 1
输出: [2]

示例 2:

输入: 2
输出: [2,8]

示例 3:

输入: 3
输出: [3,8,10]

提示:

• 1 <= n <= 105

进阶:

• rand7()调用次数的 期望值 是多少 ?
• 你能否尽量少调用 rand7() ?

题解分析

解法一

现在要从 rand7() 到 rand10()，也要求是等概率的，那只要我们把小的数映射到一个大的数就好办了，那首先想到的办法是乘个两倍试一试，每个 rand7() 它能生成数的范围是 1～7，rand 两次，那么数的范围就变为 2～14，哦，你可能发现没有 1 了，想要再减去个 1 来弥补，rand7() + rand7()− 1，其实这样是错误的做法，因为对于数字 5 这种，你有两种组合方式 (2+3 or 3+2)，而对于 14，你只有一种组合方式(7+7)，它并不是等概率的，那么简单的加减法不能使用，因为它会使得概率不一致，我们的方法是利用乘法，一般思路如下面这样构建：

\[\qquad (rand7() - 1)*7+rand7() \]

• 首先 rand7()-1 得到的数的集合为

• 再乘 7 后得到的集合 A 为

• 后面 rand7() 得到的集合B为

有人可能会疑惑，你咋不乘 66，乘 55 呢？因为它不是等概率生成，只有乘 77 才能使得结果是等概率生成的，啥意思？我们得到的集合 AA 和集合 BB，利用这两个集合，得到的数的范围是 1～491～49，每个数它显然是等概率出现的，因为这两个事件是独立事件，如果你不懂什么是独立事件，你试着加加看也能体会一点。

\[\qquad\qquad P(AB) = P(A)*P(B)=P(AB)=P(A)∗P(B)=\frac{1}{7}\ *\ \frac{1}{7} \]

/**
 * The rand7() API is already defined in the parent class SolBase.
 * public int rand7();
 * @return a random integer in the range 1 to 7
 */
class Solution extends SolBase {
    public int rand10() {
        int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();// 随机生成1-49的数字
        while(num > 10){
            num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();
        }
        return num;
    }
}

解法二：算法优化

这样的一个问题是，我们的函数会得到 1～49 之间的数，而我们只想得到 1～10 之间的数，这一部分占的比例太少了，简而言之，这样效率太低，太慢，可能要 while 循环很多次，那么解决思路就是舍弃一部分数，舍弃 41～49，因为是独立事件，我们生成的 1～40 之间的数它是等概率的，我们最后完全可以利用 1～40 之间的数来得到 1～10 之间的数。所以，我们的代码可以改成下面这样

/**
 * The rand7() API is already defined in the parent class SolBase.
 * public int rand7();
 * @return a random integer in the range 1 to 7
 */
class Solution extends SolBase {
    public int rand10() {
        int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();// 随机生成1-49的数字
        while(num > 40){
            num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();
        }
        return 1 + num % 10;
    }
}

结果展示

参考

1. 详细思路及优化思路分析，逐行解释