LeetCode-312. 戳气球

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312. 戳气球

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有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例 1：

输入： nums = [3,1,5,8]
输出： 167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167

示例 2：

输入： nums = [1,5]
输出： 10

提示：

• n == nums.length
• 1 <= n <= 500
• 0 <= nums[i] <= 100

题解分析

1. 本题的实现是使用动态规划的思想，因为题目的描述出现了最大数量等词眼，而且题目是数组的形式出现，非常符合动态规划题目的形态。
2. 要用动态规划就要思考子问题是什么，这里肯定不是从前i个元素的角度思考问题，因为戳气球涉及到相邻元素的相互影响。
3. 与5. 最长回文子串题目类似，这里需要考虑不同长度的子数组作为子问题。我们可以设置假设 dp[i][j] 表示开区间 (i,j) 内你能拿到的最多金币，并假设（i, j）区间中气球只剩最后一个，编号为k（k两边的气球都被戳爆了）。
4. 状态转移方程如下：\(dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + nums[i] * nums[k] * nums[j] + dp[k][j])\)。

class Solution {
    public int maxCoins(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] ball = new int[n+2];
        ball[0] = 1;
        ball[n+1] = 1;
        System.arraycopy(nums, 0, ball, 1, n);
        int[][] dp = new int[n+2][n+2];
        for(int len = 3; len <= n + 2; len++){
            for(int i=0; i<= n + 2 - len; i++){
                int j = i+ len - 1;
                dp[i][j] = 0;
                for(int k=i+1; k<j; k++){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][k] +dp[k][j] + ball[i] * ball[k] * ball[j], dp[i][j]);
                }
            }
        }
        return dp[0][n+1];
    }
}

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