LeetCode-207. 课程表

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207. 课程表

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你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程  bi 。

• 例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。

请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入： numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出： true
解释： 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

示例 2：

输入： numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出： false
解释： 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成​课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

提示：

• 1 <= numCourses <= 105
• 0 <= prerequisites.length <= 5000
• prerequisites[i].length == 2
• 0 <= ai, bi < numCourses
• prerequisites[i] 中的所有课程对 互不相同

题解分析

• 本题可约化为： 课程安排图是否是 有向无环图(DAG)。即课程间规定了前置条件，但不能构成任何环路，否则课程前置条件将不成立。
• 思路是通过 拓扑排序 判断此课程安排图是否是 有向无环图(DAG) 。 拓扑排序原理： 对 DAG 的顶点进行排序，使得对每一条有向边 (u,v)(u, v)(u,v)，均有 uuu（在排序记录中）比 vvv 先出现。亦可理解为对某点 vvv 而言，只有当 vvv 的所有源点均出现了，vvv 才能出现。
• 通过课程前置条件列表 prerequisites 可以得到课程安排图的 邻接表 adjacency，以降低算法时间复杂度，以下两种方法都会用到邻接表。

解法一：宽度优先搜索 + 入度表

1. 统计课程安排图中每个节点的入度，生成 入度表 indegrees。
2. 借助一个队列 queue，将所有入度为 000 的节点入队。
3. 当 queue 非空时，依次将队首节点出队，在课程安排图中删除此节点 pre：
   • 并不是真正从邻接表中删除此节点 pre，而是将此节点对应所有邻接节点 cur 的入度 −1-1−1，即 indegrees[cur] -= 1。
   • 当入度 −1-1−1后邻接节点 cur 的入度为 000，说明 cur 所有的前驱节点已经被 “删除”，此时将 cur 入队。
4. 在每次 pre 出队时，执行 numCourses--；
   • 若整个课程安排图是有向无环图（即可以安排），则所有节点一定都入队并出队过，即完成拓扑排序。换个角度说，若课程安排图中存在环，一定有节点的入度始终不为 000。
   • 因此，拓扑排序出队次数等于课程个数，返回 numCourses == 0 判断课程是否可以成功安排。

class Solution {
    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        List<List<Integer>> adjacency = new ArrayList<>();// 邻接矩阵
        for(int i=0; i<numCourses;i++){
            adjacency.add(new ArrayList<>());
        }
        int[] incidients = new int[numCourses];// 入度数组
        for(int[] prerequisite : prerequisites){
            int to = prerequisite[0];
            int from = prerequisite[1];// 前置课程
            incidients[to]++;
            adjacency.get(from).add(to);// 有向邻接边
        }
        Queue<Integer> que = new LinkedList<>();
        for(int i=0; i<incidients.length; i++){
            if(incidients[i] == 0){
                que.offer(i);// 将入度为0的顶点进队列
            }
        }
        while(!que.isEmpty()){
            numCourses--;// 出了一次队列即表示当前结点已经遍历过了
            int cur = que.poll();// 前置课程
            List<Integer> tos = adjacency.get(cur);
            for(int to : tos){
                incidients[to]--;
                if(incidients[to] == 0){
                    que.offer(to);// 入度为0则进队列
                }
            }
        }
        return numCourses == 0;// 不为0则表示存在有向环
    }
}

结果展示

参考

课程表（拓扑排序：入度表BFS法 / DFS法，清晰图解）