LeetCode-494. 目标和

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494. 目标和

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给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入： nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出： 5
解释： 一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入： nums = [1], target = 1
输出： 1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

题解分析

解法一：深度优先搜索

1. 本题最简单的解法就是深搜，因为题目要求符合条件的解法，而且每一步有两种不同的选择，这很像走迷宫类型的题目。
2. 通过设置一个全局变量来存储符合条件的结果，接着使用递归搜索来查找符合条件的组合。

class Solution {
    int ans;
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        dfs(nums, 0, 0, target);
        return ans;
    }
    private void dfs(int[]nums, int pos, int cur, int target){
        if(pos == nums.length){
            if(cur == target){
                ans++;
            }
            return;
        }
        dfs(nums, pos + 1, cur + nums[pos], target);
        dfs(nums, pos + 1, cur - nums[pos], target);
    }
}

解法二：动态规划

1. 其实本题仔细看，可以发现这是一道动态规划题，而且是动态规划里面的0-1背包问题。
2. 假设数组中所有符号为负数的数之和为neg，所有元素之和为sum，那么数组中所有符号为正的数之和为sum-neg，且target = sum - neg - neg，那么可以得到：neg = (sum - target) / 2。所以题目也就是要求数组中是否能够找到一些元素的和为neg，且组合种类有多少种。
3. 根据0-1背包问题，可以设置一个动态方程dp[i][j]表示前i个数可以组成元素和为j的种数。\(dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]]\)。

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        // dp[i][j]表示前i个数，满足元素和为j的组合数
        // dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-nums[i]];
        int n = nums.length;
        // pos = sum - neg, pos - neg = target, sum - neg -neg = target, neg = (sum - target) / 2
        int sum = 0;
        for(int i=0; i<n; i++){
            sum += nums[i];
        }
        int dif = sum - target;
        if(dif < 0 || (dif & 1) == 1){
            return 0;
        }
        target = dif >> 1;
        int[][] dp = new int[n+1][target+1];
        dp[0][0] = 1;
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=0; j<=target; j++){
                if(j < nums[i-1]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i-1]];
                }
            }
        }
        return dp[n][target];
    }
}

解法三：动态规划压缩数组

1. 考虑到本题也是动态规划，所以可以使用压缩数组的方法来减少数组空间。

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        // dp[i][j]表示前i个数，满足元素和为j的组合数
        // dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-nums[i]];
        int n = nums.length;
        // pos = sum - neg, pos - neg = target, sum - neg -neg = target, neg = (sum - target) / 2
        int sum = 0;
        for(int i=0; i<n; i++){
            sum += nums[i];
        }
        int dif = sum - target;
        if(dif < 0 || (dif & 1) == 1){
            return 0;
        }
        target = dif >> 1;
        int[] dp = new int[target+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i=0; i<n; i++){
            for(int j=target; j>=nums[i]; j--){
                dp[j] += dp[j-nums[i]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

结果展示