322. 零钱兑换 + 动态规划 + 完全背包 + 硬币问题

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LeetCode_322

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给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入： coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出： 3
解释： 11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入： coins = [2], amount = 3
输出： -1

示例 3：

输入： coins = [1], amount = 0
输出： 0

提示：

• 1 <= coins.length <= 12
• 1 <= coins[i] <= 231 - 1
• 0 <= amount <= 104

题解分析

解法一：动态规划之完全背包变形

1. 本题与背包问题极其类似，特别是看到【所有】等关键词，以及题目中提到的【假设每一种面额的硬币有无限个】更可以确信使用完全背包解决。
2. 我们假设dp[i][j]表示使用前i种硬币凑成金额j需要的最小硬币数，那么什么情况可以推进状态的变化呢？
   • 第一种情况是我们只选前i-1种硬币就能拼凑出j金额。
   • 第二种情况是现在只能拼凑出j-coins[i-1]金额，但是也使用了i种硬币。这种情况比较难以理解，我们可以这样想，因为每种硬币的个数都是无限的，即使我们之前使用了第i种硬币使硬币金额总数达到了j-coins[i-1]，我们还是可以重复使用第i种硬币来使结果金额达到j。
3. 综上，我们可以得出动态转移方程：dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j - coins[i]] + 1);
4. 需要注意的是，以上的状态转移方程只有在j>=coins[i]时才适用，当j<coins[i]时，dp[i][j] = dp[i-1][j]，即后一种情况不用考虑。
5. 此外，本题还有一个关键点就是边界值的初始化。这里需要把所有的dp[0][j]赋值为最大值，即表示不使用任何硬币一定无法拼凑出任何金额；把所有dp[i][0]赋值为0表示使用前i种硬币拼凑出金额0只有0种方案，即什么硬币都不使用。

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int n = coins.length;
        // dp[i][j]表示使用前i种硬币凑成金额j需要的最小硬币数
        int[][] dp = new int[n+1][amount+1];
        // dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i]] + 1);
        int maxs = 0x3f3f3f3f;

        for(int j=0; j<=amount; j++){
            dp[0][j] = maxs;
        }

        for(int i=0; i<=n; i++){
            dp[i][0] = 0;
        }
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=0; j<=amount; j++){
                if(j >= coins[i-1]){
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i-1]] + 1);
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[n][amount] >= maxs ? -1 : dp[n][amount];
    }
}

解法二：动态规划-压缩数组

1. 类似于其他的动态规划题目，本题可以使用压缩数组来优化存储空间。
2. 具体地说，就是本题中的第一维可以不需要，而在遍历中的i-1就可以用dp本身来表示，因为当前i状态就是从i-1状态转换而来的。
3. 与解法一类似，这里也需要注意边界值的转换，除了dp[0]需要赋值为0，其他所有位置均赋值为最大值。

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int n = coins.length;
        // dp[i][j]表示使用前i种硬币凑成金额j需要的最小硬币数
        int[] dp = new int[amount+1];
        // dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i]] + 1);
        int maxs = 0x3f3f3f3f;
        Arrays.fill(dp, maxs);
        dp[0] = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=coins[i-1]; j<=amount; j++){
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-coins[i-1]] + 1);
            }
        }
        return dp[amount] >= maxs ? -1 : dp[amount];
    }
}

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