53. 最大子数组和 + 动态规划 + 线段树

题目来源

LeetCode_53

题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入： nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出： 6
解释： 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入： nums = [1]
输出： 1

示例 3：

输入： nums = [5,4,-1,7,8]
输出： 23

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• -104 <= nums[i] <= 104

进阶： 如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

方法一：动态规划

1. 本题是动态规划的入门题，也是一道模板题。
2. 问题的关键是找到状态转移方程，那这里的状态是如何转移的呢？我们首先设置一个dp数组，dp[i]表示以第i个元素结尾的连续数组最大和，需要返回的结果是dp中的最大元素。
3. 对于状态转移，我们可以这样考虑：对于第i个元素，他要么和前面的第i-1个元素组成连续子数组，要么自己单独成为一个子数组。那么，根据这种思想，我们可以得出状态转移方程：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        // dp[i]表示以第i个元素结尾的连续数组最大和
        // dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
        int n = nums.length;
        int[] dp = new int[n];
        int maxs = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i=0; i<n; i++){
            if(i > 0){
                dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
            }else{
                dp[i] = nums[i];
            }
            maxs = Math.max(maxs, dp[i]);
        }
        return maxs;
    }
}

方法二：动态规划-压缩数组

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        // dp[i]表示以第i个元素结尾的连续数组最大和
        // dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        int maxs = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i=0; i<n; i++){
            
            sum = Math.max(sum + nums[i], nums[i]);
            
            maxs = Math.max(maxs, sum);
        }
        return maxs;
    }
}

方法四：贪心法

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int sums = 0;
        int maxSum = -0x3f3f3f3f;
        for(int i=0; i<len; i++){
            sums += nums[i];
            maxSum = Math.max(sums, maxSum);
            if(sums <= 0){
                sums = 0;
            }
        }
        return maxSum;
    }
}

方法四：线段树 + 分治法

参考

1. 关于子序列问题，有一篇文章写的很好：https://mp.weixin.qq.com/s/zNai1pzXHeB2tQE6AdOXTA