剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和 + 动态规划

剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和

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1. 状态定义： 设动态规划列表 $dp$ ，$dp[i]$ 代表以元素 $4nums[i]$ 为结尾的连续子数组最大和。

2. 为何定义最大和 $dp[i]$ 中必须包含元素 $nums[i]$ ：保证 $dp[i]$ 递推到 $dp[i+1]$ 的正确性；如果不包含 $nums[i]$ ，递推时则不满足题目的 连续子数组 要求。

3. 转移方程： 若 $dp[i-1] \leq 0$ ，说明 $dp[i - 1]$ 对 $dp[i]$ 产生负贡献，即 $dp[i-1] + nums[i]$ 还不如 $nums[i]$ 本身大。

   • 当 $dp[i - 1] > 0$ 时：执行 $dp[i] = dp[i-1] + nums[i]$ ；
   • 当 $dp[i - 1] \leq 0$ 时：执行 $dp[i] = nums[i]$ ；
     

4. 初始状态： $dp[0] = nums[0]$，即以 $nums[0]$ 结尾的连续子数组最大和为 $nums[0]$ 。

5. 返回值： 返回 dp 列表中的最大值，代表全局最大值。

6. 空间复杂度降低：

   • 由于 $dp[i]$ 只与 $dp[i-1]$ 和 $nums[i]$ 有关系，因此可以将原数组 $nums$ 用作 $dp$ 列表，即直接在 nums 上修改即可。
     *由于省去 dp 列表使用的额外空间，因此空间复杂度从 $O(N)$ 降至 $O(1)$ 。

7. 复杂度分析：

   • 时间复杂度 $O(N)$ ： 线性遍历数组 nums即可获得结果，使用 $O(N)$ 时间。
   • 空间复杂度 $O(1)$ ： 使用常数大小的额外空间。

package com.walegarrett.offer;

/**
 * @Author WaleGarrett
 * @Date 2020/12/12 8:34
 */
public class Offer_42 {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int sum = 0;
        int maxs = -0x3f3f3f3f;
        for(int i=0; i<len; i++){
            sum += nums[i];
            maxs = Math.max(maxs, sum);
            if(sum < 0){
                sum = 0;
            }
        }
        return maxs;
    }
}