蓝桥杯-包子凑数（完全背包+不定方程的数学性质+多个数的最大公因数）

包子凑数

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• 这题首先需要知道不定方程的一些性质，即：ax+by=c的解的情况：
  • 如果a,b互质，则一定有解且由无穷多个。若限制x,y>=0,则ax+by=c有可能有负数解，即存在有限个c使得方程无正数解。且存在max{c|使方程无解的c}=a*b-a-b;
  • 如果a,b不互质，则可能无解。即有<=>无限多个c使方程无解。只有当（c%gcd(a,b)==0）方程才有解。
• 考虑到本题不止a,b两个系数，有n个系数，所以对于本题，不定方程可以定义为：a0x0+a1x1+a2x2...+anxn=c;
  • 有解<=>a0,a1,..互质。
  • 否则无解，即有无限多个c使得方程无解。
• 这题的多个系数的不定方程可以转换为完全背包的问题，将系数看成每种物品的重量，c表示背包的重量。x0,x1..表示可以挑选对应物品的数量最多无限个。而且没有价值的限制。
• 我们采用压缩的方法，使用一维dp替换二维dp,且：dp[j]表示每次输入一个数字a[i]，就用前面已经凑出的数字j和现在的数字a[i]相加表示可以凑出来(j+a[i])
• 每次输入一个新的值，都需要使用以前可以凑出的数加上新输入的数来更新整个dp数组。

/*输入格式
　　第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)
输出格式
　　一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。*/
/**
 * 类似于完全背包的模型
 */
package lanQiao;

import java.util.Scanner;

public class 包子凑数 {
	static int n;//1-100
	static int []a=new int[101];
	static int g;//最大公约数
	static boolean []dp=new boolean[10104];//dp[j]表示到了j这个数的时候，该数是否可以被凑出
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner cin=new Scanner(System.in);
		n=cin.nextInt();
		dp[0]=true;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			a[i]=cin.nextInt();
			if(i==1) g=a[i];
			else g=gcd(a[i],g);//求所有数的最大公因数
			for(int j=0;j<10000;j++) {
				if(dp[j]) {//每次输入一个数字a[i]，就用前面已经凑出的数字j和现在的数字a[i]相加表示可以凑出来j+a[i]
					dp[j+a[i]]=true;
				}
			}
		}
		if(g!=1) {//这里表示如果所有的a[i]不互质，说明对于某种数，该数可能凑不出来，则存在无数多个凑不出来的数
			System.out.println("INF");
			return;
		}
		//如果互质，说明对于某种数，有解即可以被凑出来
		//统计个数
		int ans=0;
		for(int i=0;i<10000;i++) {
			if(!dp[i])
				ans++;
		}
		System.out.println(ans);
	}
	private static int gcd(int a, int b) {
		// TODO Auto-generated method stub
		if(b==0) return a;
		else return gcd(b,a%b);
	}

}