P1066 2^k进制数

递推 or 数论+高精都可以解决的毒瘤题

这里就把两种方法都介绍下吧。

递推做法

设dp[i][j]为当前是\(i\)位数，最高位为\(j\)的方案数。

这里的思想是从左到右的填出来，只要\(i-1\)位的最高位比当前的最高位还高，那么就可以转移。

写成数学式就是\(dp[i][j] = \sum_{k=j+1}^{limit}{dp[i-1][k]}\)

这种东西类似于完全背包，可以两个循环就解决，而不需要三种循环。新的式子是\(dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j+1]\)。（有疑问）

上面有个\(limit\)是枚举长度的限制。可以发现\(limit=min(2^k-1, len)\)，这个\(len=\lceil \frac{w}{k} \rceil\)。

在每次递推的时候可以顺便记录答案，但是这个边界需要去注意。

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
const int maxk = 10, maxw = 30001;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int base = 4;
struct INT
{
    int bit[55], len;
    INT()
    {
        memset(bit, 0, sizeof bit);
        len = 0;
    }
    void init(int x)
    {
        if(x == 0) len = 1;
        else
        {
            while(x)
            {
                bit[len++] = x % 10000;
                x /= 10000;
            }
        }
    }
    INT operator + (const INT &rhs) const
    {
        INT ans;
        int &l = ans.len;
        while(l < len || l < rhs.len)
        {
            ans.bit[l] += bit[l] + rhs.bit[l];
            if(ans.bit[l] / 10000)
            {
                ans.bit[l + 1] += ans.bit[l] / 10000;
                ans.bit[l] %= 10000;
            }
            l++;
        }
        l += 2;
        while(l > 1 && ans.bit[l - 1] == 0) l--;
        return ans;
    }
    void println()
    {
    	printf("%d", bit[len - 1]);
        for(int i = len - 2; i >= 0; i--)
        {
            printf("%04d", bit[i]);
        }
        printf("\n");
    }
};
INT dp[512][512];
int k, w;
int len;

void test()
{
    int a, b; scanf("%d%d", &a, &b);
    INT aa, bb;
    aa.init(a); bb.init(b);
    INT cc = aa + bb;
    cc.println();
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &k, &w);
    int t = w / k, tt = w % k;
    if(tt) len = t + 1;
    else len = t;
    INT ans; ans.len = 0;
    for(int i = 1; i < (1 << k); i++) dp[1][i].init(1);
    for(int i = 2; i <= len; i++)
    {
        int bound;
        if(tt == 0) bound = 0x7fffffff;
        else if(i == len) bound = (1 << tt) - 1;
        else bound = 0x7fffffff;
        //printf("%d\n", bound);
        for(int j = (1 << k) - i; j > 0; j--)
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j + 1] + dp[i][j + 1];
            if(j <= bound) ans = ans + dp[i][j];
        }
    }
    ans.println();
    return 0;
}

数论方法

照这个样式其实就是组合数咯。

这里直接扔个链接：https://www.luogu.org/blog/user13301/solution-p1066

反正要是考试我肯定想不出结论的。。。

代码：

int main()
{
    scanf("%d%d", &k, &w);
    int t = w / k, tt = w % k;
    if(tt) len = t + 1;
    else len = t;
    int temp = (1 << k);
    for(int i = 0; i <= 512; i++)
    {
        yh[i][0].init(1);
        yh[i][i] = yh[i][0];
    }
    for(int i = 1; i <= 512; i++)
    {
        for(int j = 1; j < i; j++)
        {
            yh[i][j] = yh[i - 1][j - 1] + yh[i - 1][j];
        }
    }
    INT ans; ans.len = 0;
    for(int i = 2; i <= std::min(t, temp - 1); i++) ans = ans + yh[temp - 1][i];
    for(int i = 1; i <= std::min((1 << tt) - 1, temp - t - 1); i++) ans = ans + yh[temp - 1 - i][t];
    ans.println();
    return 0;
}