P4927 [1007]梦美与线段树
毒瘤题！！！
这道题刷新了我对线段树懒标记维护的新认识。
显然可以得到我们要的\(p\)是线段树中所有点权值的平方和，\(q\)是原数字的和。
现在我们引入一些要用到的值：
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val数组。表示一个点的权值。
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ssum数组。表示该子树的所有节点权值的平方和。显然\(p=ssum[1]\)。
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len数组。表示一个节点的区间长度。
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len_2数组。表示该子树的所有节点的区间长度平方和。
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llen数组。表示该子树的所有节点的区间长度和。
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lx数组。表示该子树的所有节点的区间长度 乘以 权值的和。
建树的时候这些标记都能比较简单地被维护，所以我们考虑如何维护区间加。
然后考虑如何维护我们想要的子树区间平方和。
我们考虑一个特殊情况：线段树只有三个节点。
设更新值为\(x\)，\(val\)和\(len\)分别为一个节点的权值和区间长度。
那么对于这么一个小树，他的子树权值平方和为\((val + len \times x)^2 + (val_l + len_l \times x)^2 + (val_r + len_r \times x)^2\)。
化简为\(val^2+val_l^2+val_r^2+2x(len \times val + len_l \times val_l + len_r \times val_r) + (len^2 + len_l^2 + len_r^2)x^2\)。
其实可以类比到一般情况。我们可以维护\(len \times val + len_l \times val_l + len_r \times val_r\)，即子树区间长度乘以权值之和，而后面那一项就是子树区间长度的平方和。都可以建树的时候弄出来。
如何维护子树区间长度乘以权值之和？
对于单个节点，设增加\(x\)，区间长度为\(len\)。那么新增的答案是\(len(val + len \times x) - len \times val = len^2x\)。
对于子树也是差不多的道理，将里面单节点的len换成维护子树的即可。
然后注意：维护一个点的权值跟维护一个子树的权值完全不同！！！
而对于维护ssum数组，上面的那个公式中的所有东西都应该是子树角度的。
时间不够了。明天再填坑。
代码：（代码中的sum没有用到）
#include<cstdio>
#define ll long long
#define int128 __int128
const int maxn = 100005;
const int mod = 998244353;
#define lson (root << 1)
#define rson (root << 1 | 1)
int128 val[maxn << 2], sum[maxn << 2], ssum[maxn << 2], lazy[maxn << 2], len[maxn << 2], len_2[maxn << 2], ls[maxn << 2];
int128 llen[maxn << 2];
ll a[maxn], n, m;
ll read()
{
ll ans = 0, s = 1;
char ch = getchar();
while(ch > '9' || ch < '0'){ if(ch == '-') s = -1; ch = getchar(); }
while(ch >= '0' && ch <= '9') ans = (ans << 3) + (ans << 1) + ch - '0', ch = getchar();
return s * ans;
}
void pushup(int root)
{
val[root] = val[lson] + val[rson];// 节点权值
sum[root] = 2 * (sum[lson] + sum[rson]);// 子树sum之和
ssum[root] = val[root] * val[root] + ssum[lson] + ssum[rson];// 子树sum平方和
ls[root] = len[root] * val[root] + ls[lson] + ls[rson];// 子树len * sum之和
llen[root] = len[root] + llen[lson] + llen[rson];// 子树size和（不变）
len_2[root] = len[root] * len[root] + len_2[lson] + len_2[rson];// 子树size平方和（不变）
}
void pushdown(int root, int l, int r)
{
if(lazy[root] != 0)
{
int128 &x = lazy[root];
ssum[lson] += 2 * ls[lson] * x + len_2[lson] * x * x;
ls[lson] += len_2[lson] * x;
sum[lson] += llen[lson] * x;
val[lson] += len[lson] * x;
lazy[lson] += x;
ssum[rson] += 2 * ls[rson] * x + len_2[rson] * x * x;
ls[rson] += len_2[rson] * x;
sum[rson] += llen[rson] * x;
val[rson] += len[rson] * x;
lazy[rson] += x;
x = 0;
}
}
void build(int root, int l, int r)
{
if(l == r)
{
val[root] = sum[root] = a[l];
ssum[root] = a[l] * a[l];
len[root] = len_2[root] = 1;
ls[root] = len[root] * sum[root];
llen[root] = 1;
}
else
{
int mid = (l + r) >> 1;
len[root] = r - l + 1;
build(lson, l, mid);
build(rson, mid + 1, r);
pushup(root);
}
}
void update(int root, int l, int r, int x, int y, ll k)
{
if(r < x || y < l) return;
if(x <= l && r <= y)
{
ssum[root] += 2 * ls[root] * k + len_2[root] * k * k;
ls[root] += len_2[root] * k;
sum[root] += llen[root] * k;
val[root] += len[root] * k;
lazy[root] += k;
return;
}
pushdown(root, l, r);
int mid = (l + r) >> 1;
update(lson, l, mid, x, y, k);
update(rson, mid + 1, r, x, y, k);
pushup(root);
}
int128 gcd(int128 x, int128 y)
{
return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}
int128 pow_mod(int128 x, int128 y, int128 z)
{
int128 ans = 1, base = x;
while(y)
{
if(y & 1) ans = ans * base % z;
base = base * base % z;
y >>= 1;
}
return ans % z;
}
void write(int128 x)
{
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int main()
{
n = read(), m = read();
for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
build(1, 1, n);
while(m--)
{
int opt = read();
if(opt == 1)
{
ll l = read(), r = read(), v = read();
update(1, 1, n, l, r, v);
}
else if(opt == 2)
{
int128 p = ssum[1];
int128 q = val[1];
//write(p); putchar('\n');
//write(q); putchar('\n');
while(q % mod == 0) q /= mod, p /= mod;
p %= mod, q %= mod;
//write(p); putchar('\n');
//write(q); putchar('\n');
int128 ans = p * pow_mod(q, mod - 2, mod) % mod;
printf("%lld\n", (ll)ans);
}
}
return 0;
}
