P1833 樱花 & P1776 宝物筛选_NOI导刊2010提高（02）

终于学会了多重背包和混合背包！！

我们熟悉的背包问题不过就是01背包和完全背包。

但是多重背包如何处理？

一种方法是单调队列，但是我不会。这里介绍比较简便的二进制分解。

比如一件重为19的物品，我们通过二进制讲它分解为1、2、4、8、4。

前面的数字显然是从1开始的等比数列，而最后的是这个数剩下的余数。

可以证明：这些数字可以表达出0~19中任意的一个数。

所以我们成功地将一个大的背包分解为若干个小的物品，并且不改变答案，跑得还更快。

代码是这么写的：

int base = 1;
while(p > base)
{
	val[++tot] = v * base;
	weight[tot] = w * base;
	p -= base;// 注意这里要减掉base，表示我剩下的重量
	base <<= 1;
}
if(p)
{
	val[++tot] = v * p;
	weight[tot] = w * p;
}

P1833这道题还有一种完全背包。我们可以特判，也可以视为一种可以取无限多次（即可以自己设一个INF）。然后可以转换为多重背包，就可以用统一的方法做了。

完整代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int maxn = 1000005;
int val[maxn], weight[maxn];
int n, m, tot;
int dp[maxn];
int read()
{
	int ans = 0, s = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch > '9' || ch < '0'){ if(ch == '-') s = -1; ch = getchar(); }
	while(ch >= '0' && ch <= '9') ans = (ans << 3) + (ans << 1) + ch - '0', ch = getchar();
	return s * ans;
}
int main()
{
	n = read(), m = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int v = read(), w = read(), p = read();
		int base = 1;
		while(p > base)
		{
			val[++tot] = v * base;
			weight[tot] = w * base;
			p -= base;
			base <<= 1;
		}
		if(p)
		{
			val[++tot] = v * p;
			weight[tot] = w * p;
		}
	}
	for(int i = 1; i <= tot; i++)
	{
		for(int j = m; j >= weight[i]; j--)
		{
			dp[j] = std::max(dp[j], dp[j - weight[i]] + val[i]);
		}
	}
	printf("%d\n", dp[m]);
	return 0;
}