P3382 【模板】三分法

菜鸡刷模板系列。。。

这道题其实是可以二分的，但是有更好的算法，叫做三分。

三分这种算法用于求单峰函数的最大值或者最小值。

算法思想就是弄\((l, r)\)区间的两个三等分点，然后来缩小范围。

因为这道题是求峰顶，所以我们可以模拟退火通过两个三等分点的大小关系来缩小范围。

我们把那个值小的那边的范围弄掉，慢慢我们就会到达峰顶。

还有另外一种也听容易的做法：求导后二分导函数。这个没什么难度。

这道题的函数是个\(n\)次的函数，也就是个\(n\)次的多项式，我们可以用秦九韶算法来优化。

当然，模拟退火是真的可以做的。这个坑等以后来填。。。

upd in Oct 2nd：隔天我就把模拟退火的搞好啦！真香！

\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_2x^2+a_1x+a_0=0 \]

\[y'=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+(n-2)a_{n-2}x^{n-3}+...+2a_2x+a_1 \]

代码：

第一份：求导二分求零点的。

#include<cstdio>
#include<cmath>
const int maxn = 17;
const double eps = 1e-6;
int n;
double l, r;
double a[maxn];

double fd(double x)
{
    double ans = n * a[n];
    for(int i = n - 1; i >= 1; i--)
    {
        ans = ans * x + i * a[i];
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%lf%lf", &n, &l, &r);
    for(int i = n; i >= 0; i--) scanf("%lf", &a[i]);
    while(l < r)
    {
        if(r - l < eps) break;
        double mid = (l + r) / 2;
        if(fd(mid) > 0) l = mid;
        else r = mid;
    }
    printf("%.5lf\n", l);
    return 0;
}

第二份：三分法。

#include<cstdio>
#include<cmath>
const int maxn = 17;
const double eps = 1e-6;
int n;
double l, r;
double a[maxn];

double f(double x)
{
    double ans = a[n];
    for(int i = n - 1; i >= 0; i--) ans = ans * x + a[i];
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%lf%lf", &n, &l, &r);
    for(int i = n; i >= 0; i--) scanf("%lf", &a[i]);
    while(r - l >= eps)
    {
        double lm = l + (r - l) / 3, rm = r - (r - l) / 3;
        if(f(lm) > f(rm)) r = rm;
        else l = lm;
    }
    printf("%.5lf\n", l);
    return 0;
}

第三种做法：模拟退火。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
const int maxn = 20;
const double INF = 9999999999;
const double delta = 0.99;
int n;
double l, r;
double ans = -INF, ansx;
double a[maxn];

double f(double x)
{
    if(x < l || x > r) return -INF;// very important
    double ret = a[n];
    for(int i = n - 1; i >= 0; i--) ret = ret * x + a[i];
    return ret;
}
double ff(double x)
{
    if(x < l || x > r) return -INF;
    double ret = a[0];
    for(int i = 1; i <= n; i++) ret = ret + a[i] * pow(x, i);
    return ret;
}
void SA()
{
    double x = ansx;
    double T = 2018;
    while(T > 1e-14)
    {
        double newx = ansx + ((rand() << 1) - RAND_MAX) * T;
        double newans = f(newx);
        double DE = newans - ans;
        if(DE > 0)
        {
            x = newx;
            ansx = x;
            ans = newans;
        }
        else if(exp(-DE / T) * RAND_MAX > rand())
        {
            x = newx;
        }
        T = T * delta;
    }
}
int main()
{
    srand(19260817);
    scanf("%d%lf%lf", &n, &l, &r);
    for(int i = n; i >= 0; i--) scanf("%lf", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= 100; i++) SA();
    printf("%.5lf\n", ansx);
    return 0;
}