P2512 [HAOI2008]糖果传递 & P4016 负载平衡问题

神奇的中位数定理！（名字自己起的）

两个题目都是一个问题：\(n\)个人围成一圈，每个人可以给她左右两个人金币，求最小的金币交换量使得他们的金币都一样多。

鉴于不会那些费用流，就学了神奇的数学方法。（其实蓝书里面有类似的题目）

所谓的数学方法是这样的：

设\(A_i\)为第\(i\)个人一开始持有的金币数，\(X_i\)为第\(i\)个人给她下一个人的金币量（正数说明是给人的，负数说明是别人给自己的）。

那么最终的答案其实就是\(\sum_{i=1}^n |X_i|\)。

那么可以列出\(n\)条方程：

\[\begin{equation} \begin{cases} {A_1+X_n-X_1=avg} \\ {A_2+X_1-X_2=avg} \\ ...... \\ A_n+X_{n-1}-X_n=avg\end{cases} \end{equation} \]

可以发现从\(X_2\)到\(X_n\)的这些数字，统统都可以用\(X_1\)来表示。

表示出来是这样子的：

\[\begin{equation} \begin{cases} X_1=X_1 \\ X_2=X_1-(avg-A_2) \\ X_3=X_2-(avg-A_3)=X_1-(2avg-A_2-A_3) \\ X_4=X_3-(avg-A_4)=X_1-(3avg-A_2-A_3-A_4) \\ ...... \\ \end{cases} \end{equation} \]

然后设第\(i\)方程最后的那个括号为\(C_i\)（特别地，\(C_1=0\)），那么答案就变为：

\[\sum_{i=1}^n |X_1-C_i| \]

这个式子的意义是数轴上的点的距离和。我们要确定一个\(X_1\)使得这个距离和最小。

结论：当取这些点的中位数时，距离和最小。

所以弄到最后排个序就完事了。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int maxn = 105;
int a[maxn];
int n;
int c[maxn];
int avg;

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        avg += a[i];
    }
    avg /= n;
    c[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        c[i] = avg * (i - 1);
        for(int j = 2; j <= i; j++)
        {
            c[i] -= a[j];
        }
    }
    std::sort(c + 1, c + n + 1);
    int x = c[(n + 1) / 2];
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans += abs(x - c[i]);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}