线性筛与欧拉函数 笔记

本文原在 2024-02-24 14:16 发布于本人洛谷博客。

一、线性筛

易发现时间复杂度为 \(O(n\sqrt n)\) 的埃式筛法存在缺陷：一个数有可能被多个质数筛掉。

如 \(24\)，他在 \(2\times 12\) 时被筛了一遍，\(3\times 8\) 时又被筛了一遍，十分浪费时间。

线性筛就是让每个数只会被一个质数筛去，这个质数就是被筛的合数的最小质因子。

算法代码：

namespace Eular{
	int prime[N],tot;
	bool isprime[N];
	void eular(int x){
		memset(isprime,true,sizeof isprime);
		isprime[1]=false;
		for(int i=2;i<=x;i++){
			if(isprime[i])prime[++tot]=i;
			for(int j=1;j<=tot and i*prime[j]<=x;j++){
				isprime[i*prime[j]]=false;
				if(!(i%prime[j]))break;
			}
		}
	}
}using namespace Eular;

为什么当 \(i\bmod prime_j=0\) 时，就可以进入下一个合数了呢？

举例：当 \(i=21\) 时，\(prime=\{0,2,3,5,7,11,13,17,19\}\)。

当遍历到 \(prime_2\) 时，\(21=3\times 7\)，如果此时不停止 \(21\) 的工作，那么下一个被筛的数 \(5\times 21=105\) 就是被 \(5\) 筛掉的，而显然的，根据线性筛工作的原理，\(105\) 应该被 \(3\times(7\times 5)\)，也就是 \(3\times 35\) 筛。

二、欧拉函数

1. 定义

欧拉函数 \(\varphi(n)\) 表示小于等于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数个数。

如 \(\varphi(12)=4\)（\(1\)，\(5\)，\(7\)，\(11\)）。

特别的，\(\varphi(1)=1\)。

2. 解法

可以用容斥原理很快的求出来。

如求 \(12\) 的，用 \(A_i\) 表示小于等于 \(12\) 的数中，\(i\) 的倍数的个数，那么答案为 \(+A_1-A_2-A_3+A_{2\times3}\)。

理解例子后，再求更通用的公式：

分解 \(n\) 的质因子，设 \(n=p_1^{t_1}p_2^{t_2}p_3^{t_3}\dots p_m^{t_m}\)，其中序列 \(p\) 的数全为质数且不重复。

设 \(A_i\) 表示小于等于 \(n\) 且是 \(p_i\) 的倍数的自然数集合，则 \(|A_i|=\left\lfloor \dfrac{n}{p_i}\right\rfloor\)（\(1\le i\le m\)）。

因 \(p\) 序列中全为质数，所以 \(p\) 里的所有数互质，所以 \(p_i\) 与 \(p_j\) 的最小公倍数是 \(p_ip_j\)，所以 \(|A_i\cap A_j|=\dfrac{n}{p_ip_j}\)（\(i\ne j,1\le i,j\le m\)）。

由容斥原理，可得：

3. 定理

（1）. 若 \(n\) 是质数，\(\varphi(n)=n-1\)。

因为 \(n\) 是质数，那么 \(n\) 的分解质因数为：\(p=\{n\}\)。

\(\therefore\varphi(n)=n(1-\dfrac{1}{n})=n-1\)

（2）. 已知 \(q\) 是质数，若 \(n\bmod q=0\)，则 \(\varphi(nq)=q\varphi(n)\)，否则 \(\varphi(nq)=(q-1)\varphi(n)\)。

先证明第一点。

用同第二章第 \(2\) 节的方法分解 \(n\) 的质因子得到序列 \(p\)。

\(\because n\bmod q=0\)，且 \(q\) 是质数，

\(\therefore q\in p\)。

将 \(q\) 从集合 \(p\) 中删去。

\(\therefore \varphi(nq)=nq(1-\dfrac{1}{q})\prod_{i=1}^m(1-\dfrac{1}{p_i})\)，

\(q\varphi(n)=qn(1-\dfrac{1}{q})\prod_{i=1}^m(1-\dfrac{1}{p_i})\)。

\(\therefore \varphi(nq)=q\varphi(n)\)。

再证明第二点。

同理得到 \(p\)，但此时 \(q\notin p\)。

\(\therefore \varphi(nq)=nq(1-\dfrac{1}{q})\prod_{i=1}^m(1-\dfrac{1}{p_i})=(nq-n)\prod_{i=1}^m(1-\dfrac{1}{p_i})\)，

\((q-1)\varphi(n)=(q-1)n\prod_{i=1}^m(1-\dfrac{1}{p_i})=(nq-n)\prod_{i=1}^m(1-\dfrac{1}{p_i})\)。

\(\therefore \varphi(nq)=(q-1)\varphi(n)\)。

三、积性函数

1. 定义

若在正整数域中一个函数 \(f(x)\) 对于任意 \(\gcd(x,y)=1\) 的 \(x\)，\(y\) 都满足 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称 \(f(x)\) 是一个积性函数。

2. \(O(n)\) 求 \(\varphi(1)\sim\varphi(n)\)

（1）. 证明 \(\varphi(x)\) 是积性函数

设 \(n\) 与 \(m\) 互质，他们的质因子的数列分别是 \(pn\)，\(pm\)，且个数分别为 \(cntn\)，\(cntm\)。

因为 \(n\) 与 \(m\) 互质，所以 \(pn\) 与 \(pm\) 里的数互不相同。

则 \(\varphi(n)\varphi(m)\)

\(=nm\prod_{i=1}^{cntn}(1-pn_i)\prod_{i=1}^{cntm}(1-pm_i)\)

\(=\varphi(nm)\)。

（2）. 解法

设 \(q\) 是 \(nq\) 的最小质因子，由第二章第 \(3\) 节的定理可得：

\(\varphi(nq)=\left\{\begin{matrix} n-1&n=q\\ q\varphi(n)&n\bmod q=0\\ (q-1)\varphi(n)&n\bmod q\ne0 \end{matrix}\right.\)

这样就可以一边欧拉筛一边递推了。

namespace Phi{
	int prime[N],tot,phi[N];
	bool isprime[N];
	void getphi(int x){
		memset(isprime,true,sizeof isprime);
		isprime[1]=false;
		phi[1]=1;
		for(int i=2;i<=x;i++){
			if(isprime[i]){
				prime[++tot]=i;
				phi[i]=i-1;
			}
			for(int j=1;j<=tot and i*prime[j]<=x;j++){
				isprime[i*prime[j]]=false;
				if(i%prime[j])phi[i*prime[j]]=(prime[j]-1)*phi[i];
				else{
					phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];
					break;
				}
			}
		}
	}
}using namespace Phi;

3. 更多积性函数：\(d(x)\)

（1）. 定义

（2）. 证明 \(d(x)\) 是积性函数

（3）. 解法