最小生成树 笔记

一、最小生成树是什么

• 生成树，由一个连通图的所有顶点和其中若干条边构成的树。

• 最小生成树，指一个连通图的所有生成树，边权之和最小的一个。

二、实现方法

1. Prim

(1). 流程

Prim 算法的流程如下：

1. 初始时从图中取一节点加入树。

2. 选择一个与当前树中顶点距离最近的顶点，将该顶点和相应的边加入树。

3. 更新每个顶点离该顶点的距离。

4. 当所有的顶点都在树中时，这棵树就是最小生成树。

(2). 时间复杂度

Prim 和 Dijkstra 有异曲同工之妙，时间复杂度的瓶颈在第二步：选距离最近的顶点。直接使用循环枚举这一步时，时间复杂度为 $O(n^2)$，但是，可以用优先队列来优化这一部分的耗时。因此，Prim 最终的时间复杂度是 $O(n\log n)$。

(3). 代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pii pair <int,int>
using namespace std;
void fread(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
}
const int N=2e5+10,inf=0x7fffffff;
int n,m,head[N],idx,dis[N],cnt,ans;
bool vis[N];
struct EDGE{
    int v,w,next;
}edge[N*2];
void add(int u,int v,int w){
    edge[++idx]=(EDGE){v,w,head[u]};
    head[u]=idx;
}
void prim(){
    fill(dis+2,dis+N,inf);
    priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii>>q;
    q.push({0,1});
    while(cnt<n and !q.empty()){
        pii t=q.top();
        q.pop();
        int dist=t.first;
        int u=t.second;
        if(vis[u])continue;
        vis[u]=true;
        cnt++;
        ans+=dist;
        for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
            int v=edge[i].v,w=edge[i].w;
            if(!vis[v] and w<dis[v]){
                dis[v]=w;
                q.push({w,v});
            }
        }
    }
}
signed main(){
    fread();
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);
        add(v,u,w);
    }
    prim();
    if(cnt!=n)cout<<"impossible";
    else cout<<ans;
    return 0;
}

2. Kruskal

(1). 流程

Kruskal 极为通俗易懂，算法流程如下：

1. 将所有边按边权从小到大排序，由于要存储边的起点和终点，因此不再选用链式前向星，而是用与 Bellman-ford 相同的存图方式。

2. 将边从小到大选，如果选择了当前这一条边之后，不会成为一张图（不会出现环），就将这一条边添加至树中。可以选用并查集来判断是否有环。

3. 当选够 $n-1$ 条边时，树就构成了，此时得到的树就是最小生成树。

(2). 时间复杂度

Kruskal 的时间复杂度的瓶颈在第一步排序，因此 Kruskal 的时间复杂度是 $O(m\log m)$

关于 Prim 和 Kruskal 选用谁更好，那就要比较 $n$ 与 $m$ 谁大，边比点多时用 Prim，点比边多时用 Kruskal。

(3). 代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pii pair <int,int>
using namespace std;
void fread(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
}
const int N=2e5+10,inf=0x7fffffff;
int n,m,dis[N],cnt,ans,f[N];
bool vis[N];
struct EDGE{
    int u,v,w;
}edge[N*2];
bool cmp(EDGE x,EDGE y){
    return x.w<y.w;
}
int gf(int x){
    if(f[x]!=x)f[x]=gf(f[x]);
    return f[x];
}
void kruskal(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i]=i;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=edge[i].u;
        int v=edge[i].v;
        int w=edge[i].w;
        int fu=gf(u);
        int fv=gf(v);
        if(fu!=fv){
            f[fu]=fv;
            ans+=w;
            cnt++;
        }
    }
}
signed main(){
    fread();
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
        edge[i]=(EDGE){u,v,w};
    }
    sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
    kruskal();
    if(cnt!=n-1)cout<<"impossible";
    else cout<<ans;
    return 0;
}