洛谷题解 P1005 【矩阵取数游戏】

这真是一道有趣的题目。 ——垃圾一个

首先,我们知道,有一个C++11才有的东西:__int128,它的上界是\(2^{128}-1\)。
然后,我们知道,有一个叫宏定义的东西,它可以长这样#define int __int128。
最后,有一个玄学知识,main函数不仅可以是int,也可以是signed。

基础玄学知识介绍完毕。

接下来说说如何\(DP\)。

首先我们仅考虑每一行如何取(具体原因自行看题)。

然后对于每一行,我们仅考虑取头与取尾的\(max\)值(具体原因同上)。

然后定义\(f_{i,j}\)为取区间\([i,j]\)的最大值,定义\(a_i\)为该行第\(i\)个数。

则转移方程为:
\(f_{i,j}=\max{f_{i+1,j}+a_i \times x,f_{i,j-1}+a_j \times x},x\)为题目说的要加的数。

接下来考虑如何降维打击。

你想,如果取的时候先乘上一个2,然后每次遇到一个区间时在乘2,最后效果其实是一样的。

所以\(DP\)式变成:
\(f_{i,j}=\max{2 \times f_{i+1,j}+2 \times a_i,2 \times f_{i,j-1}+2 \times a_j}\)

化简为:
\(f_{i,j}=\max{2 \times (f_{i+1,j}+a_i),2 \times (f_{i,j-1}+a_j)}\)

即核心代码为

int dp(int sum[])
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	int i,j;
	for(i=0;i<=m;i++)			//i枚举长度,注意,长度可以为0。
		for(j=1;i+j<=m;j++)		//j枚举起点。
			f[j][i+j]=max(2*(f[j+1][i+j]+sum[j]),2*(f[j][i+j-1]+sum[i+j]));
	return f[1][m];				//最后所求区间为f[1][m]。
}

然后使用我们的基础玄学知识。

果断CE,没猜错吧?

__int128不自带输入输出!!!

这里提供快读快写的板子。

最后放个总代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int __int128
int a[90][90];
int f[90][90];
int n,m;
template<typename T>void qin(T &x)
{
    x=0;
    char ch;bool f=0;
    ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();
    if(ch=='-') ch=getchar(),f=1;
    while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(f==1) x=-x;
}
void qout(int x)
{
     if(x<0) putchar('-'),x=-x;
     if(x>9) qout(x/10);
     putchar(x%10+'0');
}
int dp(int sum[])
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	int i,j;
	for(i=1;i<=m;i++)
		for(j=1;i+j<=m;j++)
			f[j][i+j]=max(2*(f[j+1][i+j]+sum[j]),2*(f[j][i+j-1]+sum[i+j]));
	return f[1][m];
}
int main()
{
	qin(n),qin(m);
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=m;j++)
			qin(a[i][j]);
	int ans=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
		ans+=dp(a[i]);
	qout(ans);
	return 0;
}