python 排序 拓扑排序

在计算机科学领域中，有向图的拓扑排序是其顶点的先行排序，对于每个从顶点u到顶点v的有向边uv，在排序的结果中u都在v之前。

如果图是有向无环图，则拓扑排序是可能的（为什么不说一定呢？）

任何DAG具有至少一个拓扑排序，并且这些已知算法用于在线性时间内构建任何DAG的拓扑排序

图论：是组合数学的一个分支，它和其他分支比如：群论、拓扑学、矩阵论有着密切的关系。图是图论的主要研究对象。图是由若干给定的顶点以及连接两定点的变构成的图形，这些图形通常用来描述某些事物间的某种特定关系。顶点用于代表事物，而顶点之间的边则代表事物之间具有这种特定关系。

在图论中，由一个有向无环图的顶点组成的序列，并且仅当满足以下条件时，称为改图的一个拓扑排序：

　　每个顶点只出现一次

　　当在序列中A出现在B以前，则图中不存在由B指向A的路径

 

算法思想

卡恩算法

　　找到入度为0的点，将该点放到结果中，然后再图中将此节点相连的边删去，重新搜索图，再次找到入度为0的点，因为这个点的父节点已经出现在结果集中，所以该点也能被放入结果集中。重复直到图中没有入度为0的点

　　如果此时结果集中的点个数等于原来图中的点的个数，就说明排序成功完成，否则就说明待排序的图不是有向无环图，无法排序

 

算法步骤

　　对于已经是有向无环图的排序过程：

　　找到入度为0的点，放入结果集中，然后删去与该节点相连的边

　　重复执行上述操作，直到结果中点的个数和图的节点数相同

 

算法实现：

　　

def topological_sort(G):
    '''找到入度为0的节点a，然后将其放在序列中，删去这个a的邻接点列表'''
    topological_list=[]
    node_list=list(range(len(G)))
    node_list_temp=copy.deepcopy(node_list)#为node_list选择的备份原因如下：
    #如果找到的第一个入度为0的点不删去，那么每次while结束选择的都将是这个点
    #但是也不能在遍历node_list时删去，那样会造成死循环（类似与for i in range(a):,在循环中又对a进行操作的意思
    while True:
        
        if len(topological_list)==len(G):
            return topological_list
        node_list=node_list_temp
        for node in node_list:
            flage=True
            for i in range(len(G)):#在所有结点的邻接点列表中遍历，若均未存在，说明不依赖任何点，即入度为0
                if node in G[i]:
                    flage=False
                    break
            if flage:
                node_list_temp.remove(node)
                G[node]=[]#选择置空，否则会造成下标溢出
                topological_list.append(node)
                break
    # return topological_list

 

效率分析

　　线性时间

 

产生和检测有向无环图

欧拉把问题的实质归于一笔画问题，即判断一个图是否能够遍历完所有的边而没有重复，而柯尼斯堡七桥问题则是一笔画问题的一个具体情境。欧拉最后给出任意一种河──桥图能否全部走一次的判定法则，从而解决了“一笔画问题”。对于一个给定的连通图，如果存在超过两个（不包括两个）奇顶点，那么满足要求的路线便不存在了，且有n个奇顶点的图至少需要n/2笔画出。如果只有两个奇顶点，则可从其中任何一地出发完成一笔画。若所有点均为偶顶点，则从任何一点出发，所求的路线都能实现，他还说明了怎样快速找到所要求的路线。^[1]