从 -INF 开始的平衡树

一篇介绍

Treap

的文章

前序

此文主要讲的是 $Treap$ 。

你以为我是来深度解读 $Treap$ 的吗？不不不，我是来背诵代码的（bushi）。

证明先咕着。

**P3369 【模板】普通平衡树 **

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int SIZE=1e5+5;
int tot,root,n;
struct Treap
{
	int l,r,val,dat,cnt,size;
}a[SIZE];
int New(int val)
{
	a[++tot].val=val; a[tot].dat=rand();a[tot].cnt=a[tot].size=1;
	return tot;
}
void Update(int p){a[p].size=a[a[p].l].size+a[a[p].r].size+a[p].cnt;}
void Build()
{
	New(-1e9); New(1e9);
	root=1,a[1].r=2; Update(root);
}
int GetRankByVal(int p,int val)
{
	if(!p) return p;
	if(val==a[p].val) return a[a[p].l].size+1;
	if(val<a[p].val) return GetRankByVal(a[p].l,val);
	return GetRankByVal(a[p].r,val)+a[a[p].l].size+a[p].cnt;
}
int GetValByRank(int p,int rank)
{
	if(!p) return 1e9;
	if(a[a[p].l].size>=rank) return GetValByRank(a[p].l,rank);
	if(a[a[p].l].size+a[p].cnt>=rank) return a[p].val;
	return GetValByRank(a[p].r,rank-a[a[p].l].size-a[p].cnt);
}
void zig(int &p)
{
	int q=a[p].l;
	a[p].l=a[q].r,a[q].r=p,p=q;
	Update(a[p].r),Update(p);
}
void zag(int &p)
{
	int q=a[p].r;
	a[p].r=a[q].l,a[q].l=p,p=q;
	Update(a[p].l),Update(p);
}
void Insert(int &p,int val)
{
	if(!p){p=New(val);return;}
	if(val==a[p].val){a[p].cnt++,Update(p);return;}
	if(val<a[p].val)
	{
		Insert(a[p].l,val);
		if(a[p].dat<a[a[p].l].dat) zig(p);
	}
	else
	{
		Insert(a[p].r,val);
		if(a[p].dat<a[a[p].r].dat) zag(p);
	}
	Update(p);
}
int GetPre(int val)
{
	int ans=1,p=root;
	while(p)
	{
		if(val==a[p].val)
		{
			if(a[p].l>0)
			{
				p=a[p].l;
				while(a[p].r>0) p=a[p].r;
				ans=p;
			}
			break;
		}
		if(a[p].val<val&&a[p].val>a[ans].val) ans=p;
		p=val<a[p].val?a[p].l:a[p].r;
	}
	return a[ans].val;
}
int GetNext(int val)
{
	int ans=2,p=root;
	while(p)
	{
		if(val==a[p].val)
		{
			if(a[p].r>0)
			{
				p=a[p].r;
				while(a[p].l>0) p=a[p].l;
				ans=p; 
			}
		}
		if(a[p].val>val&&a[p].val<a[ans].val) ans=p;
		p=val<a[p].val?a[p].l:a[p].r;
	}
	return a[ans].val;
}
void Remove(int &p,int val)
{
	if(!p) return;
	if(val==a[p].val)
	{
		if(a[p].cnt>1)
		{
			a[p].cnt--; Update(p);
			return;
		}
	    if(a[p].l||a[p].r)
	    {
		    if(!a[p].r||a[a[p].l].dat>a[a[p].r].dat) zig(p),Remove(a[p].r,val);
		    else zag(p),Remove(a[p].l,val);
		    Update(p);
	    }
	    else p=0;
	    return; 
    }
	val<a[p].val?Remove(a[p].l,val):Remove(a[p].r,val);
	Update(p);
}
int main()
{
	Build(); scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		int opt,x;
		scanf("%d%d",&opt,&x);
		switch(opt)
		{
			case 1:
				Insert(root,x);
				break;
			case 2:
				Remove(root,x);
				break;
			case 3:
				printf("%d\n",GetRankByVal(root,x)-1);
				break;
			case 4:
				printf("%d\n",GetValByRank(root,x+1));
				break;
			case 5:
			    printf("%d\n",GetPre(x));
				break;
			case 6:
			    printf("%d\n",GetNext(x));
				break;	
		}
	}
	return 0;
}

**P1503 鬼子进村 **

这是一道平衡树入门题， $A C$ 了之后看了看题解区，发现基本都是用其他数据结构（如线段树，分块，树状数组）实现的。事实上用平衡树实现就毫无思维难度。

首先把题目转化成形式化题意。

假设有一个序列，该序列初始只有 $0$ 和 $n + 1$ 。

操作 $1$ D x，等价于在序列中插入一个值为 $x$ 的数。

操作 $2$ R，等价于删去一个最新插入的数。

操作 $3$ Q x，相当于求 $x$ 的后继 $-$ $x$ 的前驱 $- 1$ 。

以上 $3$ 个操作均可以使用平衡树（ $Treap$ ）维护。同时记得开个栈。

事实上这道题比模板题更好写，因为不用查询排名之类的东西。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
struct tree
{
	int l,r,val,dat;
}a[N];
int tot,root,n,m,v[N];
stack<int> s;
int New(int val)
{
	a[++tot].val=val,a[tot].dat=rand();
	return tot;
}
void build()
{
	New(0),New(n+1),a[1].r=2,root=1;
}
void zig(int &p)
{
    int q=a[p].l;
    a[p].l=a[q].r,a[q].r=p,p=q;
}
void zag(int &p)
{
    int q=a[p].r;
    a[p].r=a[q].l,a[q].l=p,p=q;
}
void Insert(int &p,int val)
{
    if(!p){p=New(val);return;}
    if(val<a[p].val)
    {
        Insert(a[p].l,val);
        if(a[p].dat<a[a[p].l].dat) zig(p);
    }
    else
    {
        Insert(a[p].r,val);
        if(a[p].dat<a[a[p].r].dat) zag(p);
    }
}
int GetPre(int val)
{
	int ans=1,p=root;
	while(p)
	{
	    if(val==a[p].val)
	    {
	    	if(a[p].l>0)
	    	{
	    		p=a[p].l;
	    		while(a[p].r>0) p=a[p].r;
	    		ans=p;
			}
		}
		if(a[ans].val<a[p].val&&a[p].val<val) ans=p;
		p=val<a[p].val?a[p].l:a[p].r;
	}
	return a[ans].val; 
}
int GetNext(int val)
{
	int ans=2,p=root;
	while(p)
	{
		if(val==a[p].val)
		{
			if(a[p].r>0)
			{
				p=a[p].r;
				while(a[p].l>0) p=a[p].l;
				ans=p;
			}
		}
		if(a[p].val>val&&a[p].val<a[ans].val) ans=p;
		p=val<a[p].val?a[p].l:a[p].r;
	}
	return a[ans].val;
}
void Remove(int &p,int val)
{
	if(!p) return;
	if(val==a[p].val)
	{
		if(a[p].l||a[p].r)
		{
			if(!a[p].r||a[a[p].l].dat>a[a[p].r].dat) zig(p),Remove(a[p].r,val);
            else zag(p),Remove(a[p].l,val);
		}
		else p=0;
		return;
	}
	val<a[p].val?Remove(a[p].l,val):Remove(a[p].r,val);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m); build();
	while(m--)
	{
		char ch; int x; cin>>ch;
		if(ch=='D')
		{
			scanf("%d",&x);
			s.push(x); v[x]=1;
		    Insert(root,x);
		}
		else if(ch=='R') Remove(root,s.top()),v[s.top()]=0,s.pop();
		else
		{
			scanf("%d",&x);
			if(v[x]) puts("0");
		    else printf("%d\n",GetNext(x)-GetPre(x)-1);
		}
	}
	return 0;
}

** P1533 可怜的狗狗 **

~~这题目名挺奇怪的~~

这题没有上面一题那么裸，但还是很水（对于我这种蒟蒻而言）。

注意到题目中一个很重要的性质：每个区间 $[i, j]$ 不互相包含。

这样一来，如果我们把询问离线并按左/右端点排序，那么每只狗至多被加入/删除当前的询问队列 $2$ 次。

如果我们使用平衡树来维护，每只狗对时间复杂度的贡献只有 $O (\log n)$ ，同时每个询问的时间复杂度也是 $O (\log n)$ ，所以总的时间复杂度是 $O ((n + m) \log n)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
int tot,root,n,m,b[N],ans[N];
struct Treap
{
    int l,r,val,dat,cnt,size;
}a[N];
struct node
{
	int l,r,val,id;
}c[N];
bool cmp(node a,node b){return a.l<b.l;}
int New(int val)
{
    a[++tot].val=val; a[tot].dat=rand();a[tot].cnt=a[tot].size=1;
    return tot;
}
void Update(int p){a[p].size=a[a[p].l].size+a[a[p].r].size+a[p].cnt;}
void Build()
{
    New(-2147483648); New(2147483647);
    root=1,a[1].r=2; Update(root);
}
int GetValByRank(int p,int rank)
{
    if(!p) return 1e9;
    if(a[a[p].l].size>=rank) return GetValByRank(a[p].l,rank);
    if(a[a[p].l].size+a[p].cnt>=rank) return a[p].val;
    return GetValByRank(a[p].r,rank-a[a[p].l].size-a[p].cnt);
}
void zig(int &p)
{
    int q=a[p].l;
    a[p].l=a[q].r,a[q].r=p,p=q;
    Update(a[p].r),Update(p);
}
void zag(int &p)
{
    int q=a[p].r;
    a[p].r=a[q].l,a[q].l=p,p=q;
    Update(a[p].l),Update(p);
}
void Insert(int &p,int val)
{
    if(!p){p=New(val);return;}
    if(val==a[p].val){a[p].cnt++,Update(p);return;}
    if(val<a[p].val)
    {
        Insert(a[p].l,val);
        if(a[p].dat<a[a[p].l].dat) zig(p);
    }
    else
    {
        Insert(a[p].r,val);
        if(a[p].dat<a[a[p].r].dat) zag(p);
    }
    Update(p);
}
void Remove(int &p,int val)
{
    if(!p) return;
    if(val==a[p].val)
    {
        if(a[p].cnt>1)
        {
            a[p].cnt--; Update(p);
            return;
        }
        if(a[p].l||a[p].r)
        {
            if(!a[p].r||a[a[p].l].dat>a[a[p].r].dat) zig(p),Remove(a[p].r,val);
            else zag(p),Remove(a[p].l,val);
            Update(p);
        }
        else p=0;
        return; 
    }
    val<a[p].val?Remove(a[p].l,val):Remove(a[p].r,val);
    Update(p);
}
int main()
{
    Build(); scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&c[i].l,&c[i].r,&c[i].val),c[i].id=i;
    sort(c+1,c+1+m,cmp);
    int l=0,r=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	if(c[i].l>r)
    	{
    		for(int j=l;j<=r;j++) Remove(root,b[j]);
    	    for(int j=c[i].l;j<=c[i].r;j++) Insert(root,b[j]);
		}
    	else
    	{
    		for(int j=l;j<=c[i].l-1;j++) Remove(root,b[j]);
    	    for(int j=r+1;j<=c[i].r;j++) Insert(root,b[j]);
		}
    	ans[c[i].id]=GetValByRank(root,c[i].val+1);
    	l=c[i].l,r=c[i].r;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

P2596 [ZJOI2006]书架

不管怎么说这题是一道紫题...所以说还是有一定的实现难度。

操作一 先对每一本书从上到下赋一个权值，并在权值前留 $m$ 个空位，权值后也同样留 $m$ 个空位（方便后面的操作一和操作二）。拿两个指针 $m n, m x$ 记录最上面的书本权值和最下面的书本权值。那么对于操作一，现将 $s$ 从平衡树里删除，再以 $- - m n$ 插入到平衡树。

操作二 和操作一一样的做法， $+ + m x$ 即可。

操作三 直接分类讨论。对于 $t = 1$ ，交换 $s$ 和 $s$ 的后继即可。对于 $t = - 1$ ，交换 $s$ 和 $s$ 的前驱即可。

操作四 根据 $s$ 的权值查询排名即可。

操作五 最平凡的操作。根据排名查询即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
int tot,root,n,m,v[N],mx,mn,mp[N];
char ch[10];
struct Treap
{
    int l,r,val,dat,size,id;
}a[N];
int New(int val,int id)
{
    a[++tot].val=val; a[tot].dat=rand(); a[tot].size=1; a[tot].id=id;
    return tot;
}
void Update(int p){a[p].size=a[a[p].l].size+a[a[p].r].size+1;}
int GetRankByVal(int p,int val)
{
    if(!p) return p;
    if(val==a[p].val) return a[a[p].l].size+1;
    if(val<a[p].val) return GetRankByVal(a[p].l,val);
    return GetRankByVal(a[p].r,val)+a[a[p].l].size+1;
}
int GetValByRank(int p,int rank)
{
    if(!p) return 1e9;
    if(a[a[p].l].size>=rank) return GetValByRank(a[p].l,rank);
    if(a[a[p].l].size+1>=rank) return a[p].id;
    return GetValByRank(a[p].r,rank-a[a[p].l].size-1);
}
void zig(int &p)
{
    int q=a[p].l;
    a[p].l=a[q].r,a[q].r=p,p=q;
    Update(a[p].r),Update(p);
}
void zag(int &p)
{
    int q=a[p].r;
    a[p].r=a[q].l,a[q].l=p,p=q;
    Update(a[p].l),Update(p);
}
void Insert(int &p,int val,int id)
{
    if(!p){p=New(val,id);return;}
    if(val<a[p].val)
    {
        Insert(a[p].l,val,id);
        if(a[p].dat<a[a[p].l].dat) zig(p);
    }
    else
    {
        Insert(a[p].r,val,id);
        if(a[p].dat<a[a[p].r].dat) zag(p);
    }
    Update(p);
}
int GetPre(int val)
{
    int ans=0,p=root;
    while(p)
    {
        if(val==a[p].val)
        {
            if(a[p].l>0)
            {
                p=a[p].l;
                while(a[p].r>0) p=a[p].r;
                ans=p;
            }
            break;
        }
        if(a[p].val<val&&a[p].val>a[ans].val) ans=p;
        p=val<a[p].val?a[p].l:a[p].r;
    }
    return a[ans].id;
}
int GetNext(int val)
{
    int ans=N-1,p=root;
    while(p)
    {
        if(val==a[p].val)
        {
            if(a[p].r>0)
            {
                p=a[p].r;
                while(a[p].l>0) p=a[p].l;
                ans=p; 
            }
        }
        if(a[p].val>val&&a[p].val<a[ans].val) ans=p;
        p=val<a[p].val?a[p].l:a[p].r;
    }
    return a[ans].id;
}
void Remove(int &p,int val)
{
    if(!p) return;
    if(val==a[p].val)
    {
        if(a[p].l||a[p].r)
        {
            if(!a[p].r||a[a[p].l].dat>a[a[p].r].dat) zig(p),Remove(a[p].r,val);
            else zag(p),Remove(a[p].l,val);
            Update(p);
        }
        else p=0;
        return; 
    }
    val<a[p].val?Remove(a[p].l,val):Remove(a[p].r,val);
    Update(p);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m); mx=m+n+2,mn=m+1; a[0].val=-1e9,a[N-1].val=1e9;
    for(int i=1,x;i<=n;i++) scanf("%d",&x),v[x]=m+1+i,Insert(root,v[x],x),mp[x]=tot;
    for(int i=1,s,t;i<=m;i++)
    {
    	scanf("%s%d",ch,&s);
    	if(ch[0]=='T') Remove(root,v[s]),v[s]=mn--,Insert(root,v[s],s),mp[s]=tot;
    	else if(ch[0]=='B') Remove(root,v[s]),v[s]=mx++,Insert(root,v[s],s),mp[s]=tot;
    	else if(ch[0]=='I')
    	{
    		scanf("%d",&t); int ss;
    		if(t==1)
    		{
    			if(v[s]!=mx-1)
    			{
    				ss=GetNext(v[s]);
    				swap(a[mp[s]].id,a[mp[ss]].id);
    				swap(mp[s],mp[ss]); swap(v[s],v[ss]);
				}
			}
			else if(t==-1)
			{
				if(v[s]!=mn+1)
				{
					ss=GetPre(v[s]);
    				swap(a[mp[s]].id,a[mp[ss]].id);
    				swap(mp[s],mp[ss]); swap(v[s],v[ss]);
				}
			}
		}
    	else if(ch[0]=='A') printf("%d\n",GetRankByVal(root,v[s])-1);
    	else printf("%d\n",GetValByRank(root,s));
	}
    return 0;
}

CF213E Two Permutations

好题，独立想出来之后还是很有成就感的。

考虑使用哈希来判断两个序列是否完全相同。预处理出排列 $a$ 的哈希值，并以此线性推出 $x \in [0, m - n]$ 的哈希值（相信大家都会）。

开一个长度为 $m$ 的数组 $p o s$ ， $p o s_{i}$ 表示数字 $i$ 在排列 $b$ 中的位置。

我们按照 $p o s$ 建立一棵平衡树，并在每个节点上记录该子树的哈希值。

先将 $i \in [1, n] p o s_{i}$ 插入到平衡树中。接下来从小到大枚举 $x$ ，判断整棵平衡树的哈希值是否和 $a_{1} + x, a_{2} + x . . . a_{n} + x$ 的哈希值相等，并更新答案，最后从平衡树中删除 $p o s_{x + 1}$ 。

时间复杂度 $O (m \log n)$ 。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4e5+5;
int tot,root,n,m,ans,f[N];
typedef unsigned long long ll;
ll h,t,hah[N];
struct Treap
{
	int l,r,val,dat,cnt,size;
	ll sum,h;
}a[N];
int New(int val,ll sum)
{
	a[++tot].val=val; a[tot].dat=rand(); a[tot].cnt=a[tot].size=1; a[tot].sum=a[tot].h=sum;
	return tot;
}
void Update(int p)
{
	a[p].size=a[a[p].l].size+a[a[p].r].size+a[p].cnt;
	a[p].h=(a[a[p].l].h*131+a[p].sum)*hah[a[a[p].r].size]+a[a[p].r].h;
}
void zig(int &p)
{
	int q=a[p].l;
	a[p].l=a[q].r,a[q].r=p,p=q;
	Update(a[p].r),Update(p);
}
void zag(int &p)
{
	int q=a[p].r;
	a[p].r=a[q].l,a[q].l=p,p=q;
	Update(a[p].l),Update(p);
}
void Insert(int &p,int val,ll sum)
{
	if(!p){p=New(val,sum);return;}
	if(val<a[p].val)
	{
		Insert(a[p].l,val,sum);
		if(a[p].dat<a[a[p].l].dat) zig(p);
	}
	else
	{
		Insert(a[p].r,val,sum);
		if(a[p].dat<a[a[p].r].dat) zag(p);
	}
	Update(p);
}
void Remove(int &p,int val)
{
	if(!p) return;
	if(val==a[p].val)
	{
		if(a[p].cnt>1)
		{
			a[p].cnt--; Update(p);
			return;
		}
	    if(a[p].l||a[p].r)
	    {
		    if(!a[p].r||a[a[p].l].dat>a[a[p].r].dat) zig(p),Remove(a[p].r,val);
		    else zag(p),Remove(a[p].l,val);
		    Update(p);
	    }
	    else p=0;
	    return; 
    }
	val<a[p].val?Remove(a[p].l,val):Remove(a[p].r,val);
	Update(p);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	hah[0]=t=1llu;
	for(int i=1;i<n;i++) hah[i]=hah[i-1]*131,t+=hah[i];
    for(ll i=1,x;i<=n;i++) scanf("%llu",&x),h=h*131+x;
    for(int i=1,x;i<=m;i++) scanf("%d",&x),f[x]=i; 
    for(ll i=1;i<=n-1;i++) Insert(root,f[i],i);
    for(ll i=n;i<=m;i++)
    {
    	Insert(root,f[i],i);
    	if(h==a[root].h) ans++;
    	h+=t;
    	Remove(root,f[i-n+1]);
	}
	printf("%d",ans); 
	return 0;
}