算法时间复杂度

目录

• 算法时间复杂度
• • 1.算法时间复杂度定义
  • 2.推导大O阶方法
  • 3.常数阶
  • 4.线性阶
  • 5.对数阶
  • 6.平方阶
  • 7.常见的时间复杂度

算法时间复杂度

为了便于以后的学习与查询，所以有了这篇博客。博客内容参考《大话数据结构》——程杰。如有侵权，请联系删除。

1.算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况而确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也是算法的时间度量，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题的规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

• 这样用大写O()来体现算法的时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
• 一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

2.推导大O阶方法

推导大O阶：

1. 用常数1取代运行时间中所有的加法常数
2. 在修改的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
   得到的结果就是大O阶。

3.常数阶

int nSum = 0, n = 100;  //执行一次
nSum = （1+n）*n/2;		//执行一次
printf("%d"，sum);		//执行一次

根据推导大O阶算法的第一步就是把常数项3改为1，所以上面这段代码的时间复杂度就是O(1)，而不是O(3).

4.线性阶

分析算法的复杂度，关键是就是要分析循环结构的运行情况。
下面这段代码，它的循环的复杂度为O(n),因为循环中的代码要执行n次。

for(int i = 0; i < n; i++)
{
	//时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
}

5.对数阶

int nCount = 1;
while(count < n)
{
	nCount = nCount * 2;
	// 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
}

• 由于每次count乘以2之后，离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由 2^x = n 得到 想= log₂n。所以这个循环的时间复杂度为O(log₂n)

6.平方阶

for(int i = 0; i < n; i++)
{
	for(int j = 0; j < m; j++)
	{
		//时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
	}
}

• 当n等于m时，上面这段代码的时间复杂度为O(n²),不相等时则为O(m×n)

for(int i = 0; i < n; i++)
{
	for(int j = i; j < n; j++)
	{
		//时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
	}
}

在上面这段代码中，总的执行次数为n + (n-1) + (n-2) + … + 1 = $\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$
使用推导大O阶的方法，最后得到这段代码的时间复杂度为O(n²)

7.常见的时间复杂度

执行次数函数	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线型阶
3n2+2n+1	O(n2)	平方阶
5log2n + 20	O(logn)	对数阶
2n + 3nlog2n + 19	O(nlogn)	nlogn)阶
6n3 + 2n2 + 3n +4	O(n3)	立方阶
2n	O(2n)	指数阶

常用的时间复杂多样所耗费的时间从小到大依次是：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)