【loj6245】红太阳 数学
给出 $n$ 、$a$ 、$c$ ,求 $\sum\limits_{i=0}^n\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor$ ,保证 $c|n$ 。
$n,a,c\le 10^9$ 。
题解
数学
因为:
$$\begin{align}&\sum\limits_{i=0}^n\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor\\=&\sum\limits_{i=0}^n\frac{a\times n}c-\lceil\frac{a\times(n-i)}c\rceil\\=&\sum\limits_{i=0}^n\frac{a\times n}c-\lceil\frac{a\times i}c\rceil\\=&\sum\limits_{i=0}^n\frac{a\times n}c-(\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor+1-[c|(a\times i)])\\=&(n+1)(\frac{a\times n}c-1)+\sum\limits_{i=0}^n[c|(a\times i)]-\sum\limits_{i=0}^n\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor\\=&(n+1)(\frac{a\times n}c-1)+\frac n{\frac c{\gcd(a,c)}}+1-\sum\limits_{i=0}^n\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor\\=&\frac nc\times(a\times(n+1)-c+\gcd(a,c))-\sum\limits_{i=0}^n\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor\end{align}$$
所以:
$$\sum\limits_{i=0}^n\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor=\frac{\frac nc\times(a\times(n+1)-c+\gcd(a,c))}2$$
#include <cstdio> #define mod 1000000007 typedef long long ll; ll gcd(ll a , ll b) { ll t; while(b) t = a , a = b , b = t % b; return a; } int main() { ll n , a , c; scanf("%lld%lld%lld" , &n , &a , &c); printf("%lld\n" , (a * (n + 1) - c + gcd(a , c)) % mod * n / c % mod * 500000004 % mod); return 0; }